質問

宿題なのですが、参考書に類似問題が無くて手も足も出ません（汗）
OA=2√2 OB=√3 OA×OB=2（←OAベクトル・OBベクトルです）である
三角形OABがある。
垂心をHとして、Oから辺ABに垂線ONを下ろすとき、OH:ONを求めよ

お返事２００１／１／１８
from=武田

これを解くために、三角比を利用する方法と、メネラウスの定理を利用
する方法を考えたが、質問のベクトルを利用する方法については、同僚
の茂呂先生よりアイデアを頂いた。感謝！！

直角三角形△ＯＡＣにおいて、
─→　→　─→　　→
ＡＣ＝ｃ、ＯＣ＝ｋｂより、
→　→　　→
ａ＋ｃ＝ｋｂ
　　　　　→
この両辺にｂを内積としてつけると、
→　　→　→　　→　　→
ｂ・（ａ＋ｃ）＝ｂ・ｋｂ
→　→　→　→　　→　→
ｂ・ａ＋ｂ・ｃ＝ｋｂ・ｂ
　２　＋　０　＝ｋ　３
∴ｋ＝２／３
したがって、ＯＣ：ＣＢ＝２：１……①

直角三角形△ＯＡＮにおいて、
─→　→　─→　　　→　→
ＯＮ＝ｎ、ＡＮ＝ｋ（ｂ－ａ）より、
→　　　→　→　　→
ａ＋ｋ（ｂ－ａ）＝ｎ
　　　　　　→　→
この両辺に（ｂ－ａ）を内積としてつけると、
　→　→　　　→　　　→　→　　　　→　→　　→
（ｂ－ａ）・｛ａ＋ｋ（ｂ－ａ）｝＝（ｂ－ａ）・ｎ
→　→　→　→　　　→　→　　→　→　→　→
ｂ・ａ－ａ・ａ＋ｋ（ｂ・ｂ－２ａ・ｂ＋ａ・ａ）＝０
　２　－　８　＋ｋ（　３　－　　４　＋　８　）＝０
７ｋ－６＝０
∴ｋ＝６／７
したがって、ＡＮ：ＮＢ＝６：１……②

①②より、
ＯＨ：ＨＮ＝ｓ：１－ｓ、ＡＨ：ＨＣ＝ｔ：１－ｔとおく。
─→　　─→　　　　　　─→
ＢＨ＝ｓＢＮ＋（１－ｓ）ＢＯより、
　　　　１　→　→　　　　　　　　　→
　　＝ｓ─（ａ－ｂ）＋（１－ｓ）（－ｂ）
　　　　７
　　　ｓ→　　６ｓ　　　→
　　＝─ａ＋（──－１）ｂ……③
　　　７　　　７
─→　　─→　　　　　　─→
ＢＨ＝ｔＢＣ＋（１－ｔ）ＢＡより、
　　　　１　　→　　　　　　　　→　→
　　＝ｔ─（－ｂ）＋（１－ｔ）（ａ－ｂ）
　　　　３
　　　　　　　　→　　２ｔ　　　→
　　＝（１－ｔ）ａ＋（──－１）ｂ……④
　　　　　　　　　　　３

③④より、連立して、
｛ｓ
｛─＝１－ｔ……⑤
｛７
｛
｛６ｓ　　　２ｔ
｛──－１＝──－１……⑥
｛７　　　　３

⑤×６－⑥
　　　　１８＋２
１＝７－────ｔ
　　　　　３

２０
──ｔ＝６
　３
　　　１８　　９
∴ｔ＝──＝──
　　　２０　１０
⑤に代入して、
　　　　　　　　　　７
ｓ＝７（１－ｔ）＝──
　　　　　　　　　１０

したがって、
ＯＨ：ＯＮ＝７：１０……（答）