質問＜３８４２＞２０１３／０１／０９
from=power
「ベクトル」

半径1の円の周上に相異なる3点P,Q,Rをとるとき、内積PQ・PRの最小値をもとめよ

★希望★完全解答★

お便り２０１３／０１／１０
from=平　昭

　こんにちは。質問＜１９６９＞２００４／９／２７と同じ問題ですね。
どこか出典があるのかな？
　さて、解答です。

　3点P,Q,Rの位置ベクトルをそれぞれp,q,rで表す。
また位置ベクトルの始点は題意の円の中心にとる。
（始点は自由にとってよいのですが、この取り方が自然で
計算が楽だと思います。なお、ベクトルを表す→記号は省略します。）

　すると
PQ・PR＝（ｑ－ｐ，ｒ－ｐ）＝（ｑ，ｒ）－（ｑ＋ｒ，ｐ）＋|ｐ|^2

　ここで　（ｑ，ｒ）＝（1/2）{|ｑ＋ｒ|^2－|ｑ|^2－|ｒ|^2}であり、

また、始点を円の中心としたから　|ｐ|^2＝|ｑ|^2＝|ｒ|^2＝１

よって、ｑ＋ｒ　とｐのなす角をθとすれば

PQ・PR＝（1/2）|ｑ＋ｒ|^2－（ｑ＋ｒ，ｐ）
　　　＝（1/2）|ｑ＋ｒ|^2－|ｑ＋ｒ||ｐ|cosθ　と書ける。、

（つまり、円の中心をＯと書けば、求める内積は、
ＯＱとＯＲの２等分線がＯＰとなす角θと、
ベクトルＯＱ＋ベクトルＯＲの大きさで決まる、ということです。）

　ここで、|ｑ＋ｒ|を一定とすると、
右辺はcosθ＝１、つまりθ＝０で最小となるのは明らか。
　この時

PQ・PR＝（1/2）|ｑ＋ｒ|^2－|ｑ＋ｒ|
　　　＝（1/2）(|ｑ＋ｒ|－１）^2－（1/2）

となる。そしてQ,Rは単位円上の異なる点だから、０≦|ｑ＋ｒ|＜２である。

　よって、PQ・PRは|ｑ＋ｒ|＝１で最小値（－1/2）をとる。

（図を描いてみると分かりますが、この時、Ｐは弧ＲＱ上にあって、
△ＯＰＱ、△ＯＰＲはいずれも正三角形になっています。）