質問＜３８２８＞２０１１／１２／１５
実数x,y,zについて、不等式 |x|+|y|+|z|+|x+y+z|≧|x+y|+|y+z|+|z+x| を証明せよ。また、等号が成立する場合を調べよ。 両辺ともに正なので、 (左辺)^2≧(右辺)^2 (左辺)^2-(右辺)^2≧0 これを証明すればいいことは分かります。 両辺を二乗すると、 (見づらいので、xy=A,yz=B,zx=A とおいてます） (左辺)^2 =2(x^2+y^2+z^2) +2(|A+|B|+|C|) +2(|x^2+A+C|+|A+y^2+C|+|C+B+z^2|) (右辺)^2 =(x^2+2y^2+3z^2) +2(A+B+C) +2|A+C+y^2+B| +2|C+x^2+B+A| +2|B+A+z^2+C| とりあえず、上記の計算結果になりましたが、自分にはこれ以上、どうすることもできませんでした。 |x|+|y|+|z|≧|x+y|+|z|≧|x+y+z| この関係式をうまく使えば証明が出来るのかもしれませんが、今の自分にはさっぱり分かりません。 それとも、もしかしたら、両辺を二乗しなくても証明はできるのでしょうか？ 正直、全く歯が立たなくて困っています… どなたか、ご教授をよろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り２０１１／１２／２１
from=平 昭
こんばんは。ちょっと面倒かもしれませんが、順番に場合分けしていくと、さほど悩まずに済みまし た。簡単にわかる場合を先に考えて行くと、残る場合はあまり多くありません。 等号成立条件の書き方がややこしいですが。以下、解答です。 f(x,y,z) ＝|x|+|y|+|z|+|x+y+z|－（|x+y|+|y+z|+|z+x|） と置く。任意の実数x,y,zについてｆ≧０を示せばよい。 まず、x,y,zの少なくとも一つが０である場合を考える。 例えばｚ＝０の時、 f(x,y,０)＝|x|+|y|+|x+y+|－（|x+y|+|y|+|x|）＝０である。 つまり、xyz＝０ならば題意は成立する。 次に、ｘ＞０ かつ ｙ＞０ かつ ｚ＞０の場合を考える。 この時、絶対値は無視できて f(x,y,z)＝x+y+z+x+y+z-（x+y+y+z+z+x）＝０ で題意は成立。 また、式の形からf(x,y,z)＝f(-x,-y,-z)、、、★ は明らかなので ｘ＜０ かつ ｙ＜０ かつ ｚ＜０の場合も ｆ＝０となり題意は成り立つ。 最後に、まず、x,y,zのうち二つが正で、一つが負である場合を考える。 ★の式より、この場合に題意が成立すれば、二つが負で一つが正の場合も成立することは明らかである。 さて、例えば、ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＜０とすれば f(x,y,z) ＝x+y+|z|+|x+y+z|-（x+y+|y+z|+|z+x|） ＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|x+z| ここで場合分けする。 （１） ｘ≧|z| かつ y≧|z|の場合。この時、 |x+y|＝ｘ＋y≧|z|なので f(x,y,z) ＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|x+z| ＝|z|+|x+y+z|-|y|+|z|-|x|+|z| ＝|z|+|x+y|-|z|-y+|z|-x+|z| ＝２|z| ＞０ で成立する。 （２a） ｘ≧|z| かつ y≦|z|の場合。 この時やはり、|x+y|＝ｘ＋y≧|z|で f(x,y,z) ＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|x+z| ＝|z|+|x+y+z|+|y|-|z|-|x|+|z| ＝|x+y|+y-x ＝２y ＞０ （２b） ｘ≦|z| かつ ｙ≧|z|の場合も同様で、 f(x,y,z)＝２x＞０ (３)ｘ≦|z| かつ ｙ≦|z|の場合。 この時、さらに場合分けして （３a） ｘ＋ｙ≧|z|ならば f(x,y,z) ＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|x+z| ＝|z|+|x+y+z|+|y|-|z|+|x|-|z| ＝|z|+|x+y|-|z|+|y|-|z|+|x|-|z| ＝２(x+y-|z|) ≧０ で題意は成立する。また、 （３b） ｘ＋ｙ≦|z|ならば f(x,y,z) ＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|z+x| ＝|z|+|x+y+z|+|y|-|z|+|x|-|z| ＝|z|-|x+y|+|z|+|y|-|z|+|x|-|z| ＝０ でやはり題意は成立する。 これで、題意は証明された。 等号が成立するのは （イ） xyz＝０ （ロ） ｘ＞０ かつ ｙ＞０ かつ ｚ＞０ （ハ） ｘ＜０ かつ ｙ＜０ かつ ｚ＜０ （ニ） ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＜０など、x,y,zのうち二つが正で一つが負であり、 かつ、ｘ＋ｙ≦|z|など、正の数二つの和が、負数の絶対値以下の場合。 （ホ） ｘ＜０，ｙ＜０，ｚ＞０など、x,y,zのうち二つが負で一つが正であり、 かつ、|ｘ＋y|≦zなど、負の数二つの和の絶対値が、正数以下の場合。