質問＜３８１５＞２０１１／４／２１
from=べく太
「恒等式」

整式f(x)がxについての恒等式
xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29
を満たすとする。
(1)f(0),f(1),f(-1)の値を求めよ。
(2)f(x)の次数を求めよ。
(3)f(x)を求めよ。
お願いしますm(__)m

★希望★完全解答★

お便り２０１１／４／２５
from=phaos

(1)
 x = 0, 1, -1 を各々代入すると
-5f(0) = f(-1) + 2f(1) - 29 … (a)
f(0) - 5f(1) = 2f(0) - 33 即ち f(0) = -5f(1) + 33 … (b)
-f(0) - 5f(-1) = 4f(0) - 25 即ち f(0) = 5 - f(1) … (c)
(b) と (c) から f(1) = 7, f(0) = -2. 
これらと (a) とから, f(-1) = 25. 

(2)
 n = deg(f) とすると deg(lhs) = 2n + 1. Deg(rhs) = n + 3. 
2n + 3 = n + 1 より n = 2. 

(3)
 f(x) は二次式だから f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) と置くことが出来る。
元の式に代入して
lhs = ax^5 + (-2a + b)x^3 - 5ax^2 + (a - 6b + c)x - 5c
rhs = a*x^5+(b-2*a)*x^4+(c-b-a)*x^3+(-2*b-a)*x^2+(-2*c+b-4)*x+3*c+b+3*a-29
係数比較して
b - 2a = 0,
b - 2a = c - b - a,
-5a = -2b - a,
c - 6b + a = -2c + b - 4,
-5c = 3c + b + 3a - 29 = 0. 
解くと a = 1, b = 2, c = 3 (適). 
即ち f(x) = x^2 + 2x + 3