質問＜３７９６＞２０１０／７／２５
from=yumi
「２次関数」

x^2+2ax+2a^2-2/3a-1/3=0が実数解をもつように、次数の定数aが変化するとき、
実数解α、βとしてαのとりうる値の範囲を求めよ。
是非早めに宜しくお願いします、

★希望★完全解答★

お便り２０１０／８／１
from=phaos

実数解を持つので D/4 = -a^2 + (2/3)a + 1/3 ≧ 0. 
即ち 3a^2 - 2a - 1 = (3a + 1)(a - 1) ≦ 0 より -1/3 ≦ a ≦ 1. 
さて, 実際に最初の方程式
3x^2 + 6ax + 6a^2 - 2a - 1 = 0
を解くと
x = (-3a ± √(-9a^2 + 6a + 3))/3
で, dx/da = -1 ± (-3a + 1)/√(-9a^2 + 6a + 3)
ここで dx/da = 0 と置くと, 複号が + の方では a = (1 - √2)/3, - の方では a = (1 + √2)/3 を得る。
それらの値の時, 各々 x = (-3 + 5√2)/9, -(3 + 5√2)/9 で, 増減を考えると結局,
-(3 + 5√2)/9 ≦ x ≦ (-3 + 5√2)/9 となる。
もしも α ≦ β が仮定されているのであれば -(3 + 5√2)/9 ≦ α ≦ -1/3. 
もしも α ≧β が仮定されているのであれば -1 ≦ α ≦ (-3 + 5√2)/9 である。