質問

水滴を球形とみなして、完全に蒸発してなくなる時刻を求める問題です。
条件として、
・水滴は表面積に比例して蒸発する。
・ｔ＝０で半径はｒ0
・ｔ＝ｔ1（＞０）で半径はｒ1（＜ｒ0）
があります。
解答解説には
①時刻ｔでの水滴の半径をr(t)とし、tからt+⊿tの間に減った量は（４π/３）{r^3(t)-r^3(t+⊿t)}
②蒸発した量は、4kπr^2(t)⊿t
③方程式はdr/dt=-k
とあるのですが、この③がなぜ出てくるのか分かりません。
私が計算すると、題意から①＝②なので
（４π/３）{r^3(t)-r^3(t+⊿t)}＝4kπr^2(t)⊿t
両辺を（４π/３）⊿tで割って
{r^3(t)-r^3(t+⊿t)}/⊿t＝３kr^2(t)
⊿t→0の極限をとって
-dr/dt＝３kr^2(t)
dr/dt＝-３kr^2(t)
となり、-3r^2(t)が残ってしまいます。
どこがおかしいのでしょうか？
教えて頂ければ助かります。

★希望★完全解答★

お便り２００９／１１／２９
from=cametan

ふっっっめいりょうな質問ですね。
実際問題、こう言う場合は問題文全部転載した方が良いです。貴方の「解釈」聞いても
しょーがない、んですよ。
別に「考え方」を述べるのが悪い事、って言ってるんじゃないです。そーじゃなくって、
それも必要ですが、問題文と照らし合わせ無いと判断出来ないんですよ。
そもそも、これは物理なのか、あるいは数学として訊いてるのか全然分からないから、
です。

例えば、ですね。

＞水滴は表面積に比例して蒸発する。

なんてのは条件でも何でも無いですよ。
時間微分をダッシュ(')で表現すると、球の体積をV、球の半径をrとすれば、球の体積が

V = 4π/3*r^3

とすれば、

V' = 4π*r^2*r'

になります。球の表面積が

A = 4π*r^2

である以上、

V' = A * r'

と記述できるんで、こんなの「数学的操作による帰結」なんで条件でも何でもない、です。
数学的に天下りな計算結果が出るんで「当たり前」なんですよ。
分かりますか?

つまり、r'が何なのか、ってのが問われるわけなんですけど、「数学的な観点」で言うと
「何でもアリ」ですよね。別に指数関数でも構いませんし、下手すれば三角関数でも良い
わけです。
従って、本当に必要な「条件」ってのは、r'が「何なのか」?それが分からんと解きようが
ない、んですよ。少なくとも、貴方が示した条件では、「rの時間微分が定数である」と
言う条件は見当たりません。

そうすると、

＞解答解説には

で、r'=-kとしてるなら、「r'が定数である」と言う条件が、どっか問題文に書いてなきゃ
「問題として成り立たない」わけです。
分かりますかね?
これだと、不明瞭過ぎて、何とも答えようがありませんね。

＞両辺を（４π/３）⊿tで割って
＞{r^3(t)-r^3(t+⊿t)}/⊿t＝３kr^2(t)
＞⊿t→0の極限をとって
＞-dr/dt＝３kr^2(t)
＞dr/dt＝-３kr^2(t)
＞となり

ならんでしょ(笑)。

r(t+Δt)/ΔtのΔt→0の極限取ってdr/dtだ、っつーのならまだ分かりますが、そもそも
分母はrがtの関数だとしても「3乗」ですよ?半径r「そのものの」時間毎の増加率(ある
いは減少率)を計算してるわけでも何でも無いでしょう。
従って、上の3行目と4行目の論理は「トビ過ぎて」います。計算が破綻してますね。