質問＜３７＞９８／８／２４
from=坂田
「因数分解」

x^2-xy-2y^2＋ａｘ－ｙ＋１が１次式の積に因数分解されるように、
定数ａの値を求めよ。
これをｘの２次式と考えて、
ｘ＾２＋（ａ－ｙ）ｘ－(２ｙ－１）（ｙ＋１）
これは、
（ｘ－２ｙ＋１）（ｘ＋ｙ＋１）　ｏｒ
（ｘ＋２ｙ－１）（ｘ－ｙ－１）
と因数分解できると考えて、ａを決定できないのはなぜでしょうか？

お返事９８／８／２８
from=武田

苦労しましたが、やっとできました。
２変数２次関数f(x,y)=x2-xy-2y2+ax-y+1
は次のような鞍部型のグラフになります。

ｘ方向にz=x2型、ｙ方向にz=-2y2型
となります。因数分解は下の次数の積ですから、この場合は1次式
の積にならなければなりません。
グラフで分かりやすくするため、今f(x,y)=0とおいて、ｘｙ平面と
の切り口のグラフを考えてみましょう。ａの値によって、切り口は
変化します。まだａの値は分かりませんが、切り口が想像できます。
上の図を参考にしながら、
点Ｐがｘｙ平面より上にあるときは上下に双曲線
　　　ｘｙ平面にのっているときは直線
　　　ｘｙ平面より下のときは左右に双曲線
切り口が1次式は直線のときだから、ｘｙ平面上にのっていること
になる。点Ｐの座標を探します。２つのやり方で、やってみました。
①微分で接線の傾き０より
　　　∂f/∂x＝２ｘ－ｙ＋ａ＝０
　　　∂f/∂y＝－ｘ－４ｙ－１＝０
　　　解くと、ｘ＝(-4a-1)/9
　　　　　　　ｙ＝(a-2)/9
　　　これをf(x,y)=0に代入して解くと、
　　　２ａ2＋ａ－１０＝０より、
　　　∴ａ＝２，-5/2
　　　ａ＝２のとき、　f(x,y)=（ｘ－２ｙ＋１）（ｘ＋ｙ＋１）
　　　ａ＝-5/2のとき、f(x,y)=（ｘ＋ｙ－1/2）（ｘ－２ｙ－２）
②判別式を２回用いて
　　　ｘ2＋（ａ－ｙ）ｘ－（２ｙ2＋ｙ－１）＝０
　　　判別式1回目
　　　Ｄ＝（ａ－ｙ）2＋４（２ｙ2＋ｙ－１）＝０
　　　９ｙ2＋（４－２ａ）ｙ＋（ａ2－４）＝０
　　　判別式２回目
　　　Ｄ＝（４－２ａ）2－３６（ａ2－４）＝０
　　　２ａ2＋ａ－１０＝０より
　　　∴ａ＝２，-5/2
　　　ａ＝２のとき、　f(x,y)=（ｘ－２ｙ＋１）（ｘ＋ｙ＋１）
　　　ａ＝-5/2のとき、f(x,y)=（ｘ＋ｙ－1/2）（ｘ－２ｙ－２）
難しかったのは、グラフを想像するところでした。簡単に書いてくれる
ソフトが手に入ればいいのですが……

お便り２００９／６／６
from=BossF

ふと開いたら最新の質問が[37]になっていて試しに解いてみました。せっかくなので送ります
「
（ｘ－２ｙ＋１）（ｘ＋ｙ＋１）　ｏｒ
（ｘ＋２ｙ－１）（ｘ－ｙ－１）
と因数分解できると考えて、ａを決定できないのはなぜでしょうか？
←因数分解の範囲を質問者(あるいは当時の出題者）が意識していないことが混乱の原因です
整数の範囲では正しい認識ですね、これ。しかし実数まで広がっているとそうも行かなくなります

例えば　実数の範囲での因数分解なら　

[解]与式=(x+by+p)(x+cy+q) とおけば

2次の項の係数比較により
b+c=-1 bc=-2 だから b,c は　t^2+t-2=0 …①の解
①を解いて t=-2,1
(b,c)=(-2,1) としても一般性を失わないから
与式=(x-2y+p)(x+y+q) とおける
今度は、yの係数および定数項の比較より
p-2q=-1 pq=1
すると、p,-2qを2つの解にもつ方程式は t^2+t-2=0…②
②を解いて t=-2,1　∴(p,-2q)=(-2,1),(1,-2)
すなわち (p,q)=(-2,-1/2)(1,1)

よって　a=-5/2,2　■