質問＜３５７４＞２００７／６／２８
from=JUN*2
「図形」

次の問題についてお尋ねします。

1.円に内接する三角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。
2.円に内接する四角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。
3.円に内接するn角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。

正多角形になるのはなんとなくわかりますが、どう式にかけばいいのかわかりません。
よろしくお願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／８／２１
from=toshi

まず、条件付極値の知識を持っているとして説明させていただきます。
表記方法はtexです。

円の半径を適当に取ることによって、内接する三角形の面積Sは
S=\sin { \alpha } + \sin{ \beta } + \sin{ \gamma}
とかける。ここで三角形である条件から、\alpha + \beta + \gamma - \pi = 0
よって、ラグランジュの未定乗数法から
S^{\prime }( \alpha , \beta , \gamma , \lambda ) = \sin { \alpha } +
\sin{ \beta } + \sin{ \gamma} - \lambda  (\alpha + \beta + \gamma -\pi)
の最大値をもとめる問題と同等になる。

これから、
\sin { \alpha } =\sin { \beta } =\sin { \gamma }  = \lambda
となる。

よって、\alpha = \beta = \gamma と求まる。
\because \alpha ＜ \pi

2.これを拡張していくだけ

3.同上

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/090ksk.htmlを参照してください。