質問<3475>2006/12/5
from=チャムっ子
「3変数関数」
x=rsinθcosψ,y=rsinθsinψ,z=rcosθのとき、 3変数関数u=u(x,y,z)に対し次の等式が成立することを示せ。 ∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2 =1/r^2sinθ{sinθ∂/∂r(r^2∂u/∂r)+∂/∂θ(sinθ∂u/∂θ)+1/sinθ×∂^2u/∂ψ^2} ★希望★完全解答★
お便り2006/12/22
from=soredeha
x=r cosθ,y=r sinθのとき、 2変数関数 u=u(x,y) に対し次の等式が成立することは既知とする。 ∂^2u/∂x2+∂^2u/∂y2=∂^2u/∂r2+(1/r)∂u/∂r+(1/r)2∂^2u/∂θ^2 r,θ を ρ、ψ に置き換えると x=ρcosψ、y=ρsinψ のとき 3変数関数 u=u(x,y,z) に対し次の等式が成立する. ∂^2u/∂x2+∂^2u/∂y2=∂^2u/∂ρ^2+(1/ρ)∂u/∂ρ+(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2 両辺に ∂^2u/∂z2 を加えると ∂^2u/∂x2+∂^2u/∂y2+∂^2u/∂z2 =∂^2u/∂z2+∂^2u/∂ρ^2+(1/ρ)∂u/∂ρ+(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2 更に z=rcosθ、ρ=rsinθ とすると 既知式で、x,y を z,ρに代えて ∂^2u/∂z2+∂^2u/∂ρ^2=∂^2u/∂r2+(1/r)∂u/∂r+(1/r)2∂^2u/∂θ^2 ----- (1) また ∂u/∂r=cosθ∂u/∂z+sinθ∂u/∂ρ ∂u/∂θ=-rsinθ∂u/∂z+rcosθ∂u/∂ρ ∂u/∂z を消去すると ∂u/∂ρ=sinθ∂u/∂r+(cosθ/r)∂u/∂θ -----(2) (1) (2) を代入すると ∂^2u/∂x2+∂^2u/∂y2+∂^2u/∂z2 =[∂^2u/∂r2+(1/r)∂u/∂r+(1/r)2∂^2u/∂θ^2] +(1/ρ)[sinθ∂u/∂r+(cosθ/r)∂u/∂θ]+(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2 =∂^2u/∂r2+(2/r)∂u/∂r+(1/r)2∂^2u/∂θ^2 +(cosθ/r^2sinθ)∂u/∂θ+(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2 これは、問題の右辺と一致する。