質問

武田先生、失礼します。曲線のグラフの形状を調べる増減表について教
えていただけますでしょうか？

一般的にいって、関数の曲線の形状を調べるときに、
2次関数なら、ｆ'(ｘ)の１つだけについて調べて、
3次関数なら、f'(ｘ)とｆ''(ｘ)の２つについて調べて、
4次関数なら、f'(ｘ)とｆ''(ｘ)とｆ'''(ｘ)の３つについて調べること
になるのですか？
それとも2次でも3次でも4次でも、一階微分と二階微分の符号を調べれ
ばいいのですか？

お返事２０００／１０／２６
from=武田

２次関数、３次関数、４次関数、さらに５次関数も、変数ｘが変数ｙに
変化することに変わりがないので、すべてｙ＝ｆ（ｘ）と書くことが出
来る。
そのグラフは、そのｘとｙにより、点（ｘ，ｙ）ができ、それが連続的
に変化してグラフを描く。

さて、微分だが、グラフ上の任意の点の微少な近傍をとれば、そこに
１次近似の直線ができる。この直線は、傾きをｆ′（ｘ）とすると、
ｄｙ＝ｆ′（ｘ）ｄｘと表現できる。
これは第１次導関数をさす。
ｄｙ
──＝ｆ′（ｘ）
ｄｘ
したがって、「すべての曲線は任意の点の微少な近傍で直線化する」
ことが出来ると言える。この直線の傾きから、グラフ全体の増減を推
し量ることが出来る。つまり、第１次導関数（１階微分）はすべての
曲線において増減を知る重要な役割を担っているのである。
ちょうど運動における速度の役割と同じである。
それでは第２次導関数（２階微分）はどういう働きがあるかというと、
ｆ″（ｘ）＞０のとき、傾きｆ′（ｘ）が増加していくから、グラフ
としては下に凸となる。ｆ″（ｘ）＜０は上に凸となる。グラフの曲
がり具合を知るための働きを持っている。ちょうど運動における加速
度と同じである。
したがって、第３次導関数以降は、グラフ上も運動上も私の知る限り
では仕事がありません。

最後に、５次関数のグラフ書きを掲載します。
　　４　　　５
ｙ＝─ｘ⁵－─ｘ³＋ｘ＋１
　　５　　　３