質問＜３３６０＞２００６／９／３
from=なおひ
「大学受験の問題（図形と方程式）」

Ｏを原点とするxy平面上の円x^2+y^2=1上へ、この円の外部の点Ｐ(a,b)から２本の接線
を引き、その接点をＡ，Ｂとし、さらに線分ＡＢの中点をＱとする。
①直線ＡＢの方程式は、ax+by=1であることを示せ。
②点Ｑの座標をa,bを用いて表せ。
③点Ｐが円(x-3)^2+y^2=1上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ。

の②③が解りません。宜しくお願いします。

前問を含め、以前よりよくお世話になっております。これからもちょくちょくお世話に
なると思います。宜しくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／８
from=主夫

②
Q(x,y)はAB上の点だから、
ax+by=1 …(1)
また、直線OP上の点でもあるから、
bx-ay=0 …(2)
(1)(2)の交点がQだからこれらを連立して、
(x,y)=(a/(a^2+b^2),b/(a^2+b^2))

③
②より
x^2+y^2
=(a^2+b^2)/(a^2+b^2)^2
=1/(a^2+b^2)

これをもう一度②の答えに代入して、
x=a(x^2+y^2)  y=b(x^2+y^2)　ゆえに
a=x/(x^2+y^2)  b=y/(x^2+y^2)
この点Q(a,b)が円(x-3)^2+y^2=1上を動くから、
{(x/(x^2+y^2)-3}^2+{y/(x^2+y^2)}^2=1
この式を変形していって、
(x-3/8)^2+y^2=1/64.

お便り２００６／９／１１
from=なおひ

主夫さん解いて頂きありがとうございます。
再質問（確認）させて頂きたいです。

③

「②より x^2+y^2
=(a^2+b^2)/(a^2+b^2)^2
=1/(a^2+b^2)」

⇒この部分がいまひとつ理解できないので、すいません、
もう少し詳しくご説明していただけないでしょうか？

宜しくお願いします。

お便り２００６／９／１５
from=主夫

②より
(x,y)=(a/(a^2+b^2),b/(a^2+b^2))

x^2
={a/(a^2+b^2)}^2
=a^2/(a^2+b^2)^2

y^2
={b/(a^2+b^2)}^2
=b^2/(a^2+b^2)^2

これらを足すと，
x^2+y^2
=a^2/(a^2+b^2)^2+b^2/(a^2+b^2)^2
=(a^2+b^2)/(a^2+b^2)^2           …ここで通分しています。
=1/(a^2+b^2)　　　　　　　　　　 …ここで約分しています。