質問＜３３０＞２０００／１０／３
from=ゆうき
「定数は分離する」

0＜X＜2πであるとき、Ｘについての方程式、
ke^√3*X=cosXの解の個数を求めよ。
（keの（√３かけるＸ）乗）

途中で、y'=-2e^-√3*X sin(X+π/3)
となり、増減表を書くのですが、
増減表のＸの0,2/3*π,5/3*π,2πというところの
値の求める過程を詳しく教えてください。
ヨロシク御願します。

お返事２０００／１０／４
from=武田

０＜ｘ＜２πのとき、
ｋｅ√3x＝cosｘの解の個数を求めるために、変形して、

　　cosｘ
ｋ＝───＝ｅ-√3x・cosｘ
　　ｅ√3x
左辺と右辺をそれぞれｙとおき、
｛ｙ＝ｋ
｛ｙ＝ｅ-√3x・cosｘ
この２つのグラフの交点を調べる。
まず、ｙ＝ｅ-√3x・cosｘを微分して、
ｙ′＝－√３ｅ-√3x・cosｘ－ｅ-√3x・sinｘ
　　＝－ｅ-√3x（√３cosｘ＋sinｘ）
　　＝－２ｅ-√3x・sin（ｘ＋π／３）
ｙ′＝０より、
ｅ-√3x＞０より、sin（ｘ＋π／３）＝０
０＜ｘ＜２πより、
　　２　　５
ｘ＝─π，─π
　　３　　３
代入して、
ｆ（０）＝ｅ-√3・０・cos０＝１
ｆ（２π／３）＝ｅ-√3(2π/3)・cos（２π／３）
　　　　　　　＝（－１／２）ｅ-2√3π/3
　　　　　　　≒－０．０１３
ｆ（５π／３）＝ｅ-√3(5π/3)・cos（５π／３）
　　　　　　　＝（１／２）ｅ-5√3π/3
　　　　　　　≒０．００００５８
ｆ（２π）＝ｅ-√3(2π)・cos（２π）
　　　　　＝ｅ-2√3π
　　　　　≒０．００００１９
増減表
ｘ　｜　０｜………｜２π/3｜………｜５π/3｜………｜　２π　｜
──────────────────────────────
ｙ′｜　　｜　－　｜　０　｜　＋　｜　０　｜　－　｜　　　　｜
──────────────────────────────
ｙ　｜　１｜　減少｜　※１｜　増加｜　※２｜　減少｜ｅ-2√3π｜
※１＝（－１／２）ｅ-2√3π/3
※２＝（１／２）ｅ-5√3π/3


したがって、
０＜ｘ＜２πの範囲で、ｋの値によって解の個数が決まる。
｛１≦ｋのとき、解の個数０個
｛（１／２）ｅ-5√3π/3＜ｋ＜１のとき、１個
｛ｋ＝（１／２）ｅ-5√3π/3のとき、２個
｛ｅ-2√3π＜ｋ＜（１／２）ｅ-5√3π/3のとき、３個
｛（－１／２）ｅ-2√3π/3＜ｋ≦ｅ-2√3πのとき、２個
｛ｋ＝（－１／２）ｅ-2√3π/3のとき、１個
｛ｋ＜（－１／２）ｅ-2√3π/3のとき、０個　……（答）