質問＜３２４１＞2006/6/11
(logX)^2のn次導関数は？ logl1-X^2lのn次導関数は？ ★完全解答希望★
お便り２００６／６／１４
from=亀田馬志
ふ～ん･････これ結構面白い問題かもしれませんね。 まあ、いいや。フリー数式処理ソフトMAXIMAをダウンロードして下さい。 これを使ってみましょう。 MAXIMAダウンロード後、デスクトップ上のアイコンをダブルクリックすると次のような 画面が現れます。 Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL) Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memory of William Schelter. This is a development version of Maxima. The function bug_report() provides bug reporting information. (%i1) これでMAXIMA起動成功です。 (%i1)ってのが｢入力待ち｣と言った意味です(恐らくinput"入力”その1、って意味です)。 ここに数式を入力するのが使い方です。 さて、微分コマンドですが、微分命令の書式は diff(微分したい関数、微分する変数); と;(セミコロン)まで入力します。ちょっとやっていってみましょう。 ＞(logX)^2のn次導関数は？ (%i1)の後に次のように入力します。 (%i1) diff((log(x))^2,x); そしてリターンキーを押すと次のように出力されます。 2 log(x) (%o1) -------- x (%o1)が出力で(恐らくoutput"出力"その1、って意味でしょう)、計算結果が表示されます。 1階微分の答えは2logx/xのようですね。 もう一回微分してみましょう。今度は次のように(%i2)の後に入力します。基本は同じです。 (%i2) diff(%o1,x); 今度の入力は数式の代わりに%o1と打っています。これは、前出力(%o1)を参照しろ、って 命令です。2階微分は1階微分を微分したものなんで、前出力を参照させたほうが面倒が 無いワケです。 リターンキーを押すと次のような結果になります。 2 2 log(x) (%o2) -- - -------- 2 2 x x ちょっと見辛い表示でビックリするかもしれませんが(笑)、 2階微分は2/(x^2)－2log(x)/(x^2)のようですね。 またもや同様の作業を繰り返します。 (%i3) diff(%o2,x); ･･･････さて、5回も繰り返せば｢何らかの規則性｣も見えてくるんではないでしょうか? 試してみて下さい。 後は、数学的帰納法ででも証明すれば完璧でしょう。 ＞logl1-X^2lのn次導関数は？ これもネタは同じですね。まずはMAXIMAに計算させてみましょう。 参考文献: MAXIMA日本語マニュアル MAXIMAの手引き Maxima入門ノート
お便り２００６／６／１７
from=ZELDA
2つの問題のうち最初の問題だけですが、できました。
f(x)=(logx)^2とおく。
このとき、fn(x)はf(x)の第n次導関数を表すものとする。
f1(x)=(2logx)/x であり、f2(x),f3(x)も計算すると
fn(x)={a(n)+b(n)logx}/(x^n) とかけると推測できる。
いま、このことを数学的帰納法により証明する。
(１)
n=1 のとき明らか。
a(1)=0,b(1)=2
(２)
あるnに対して推測が正しいと仮定すると
fn+1(x)=[{b(n)-na(n)}+{-nb(n)}logx]/{x^(n+1)}
となる。
a(n+1)=b(n)-na(n)・・・(A)
b(n+1)=-nb(n+1)・・・・(B)
とすれば、よい。
(１),(２)より、推測は正しい。
漸化式(B)を繰り返し用いて
b(n)=(-1)(n-1)b(n-1)
=(-1)(n-1)(-1)(n-2)b(n-2)
=(-1)(n-1)(-1)(n-2)・・・(-1)1b(1)
=2{(-1)^(n-1)}(n-1)!
これを、漸化式(A)に代入して、
a(n+1)=2{(-1)^(n-1)}(n-1)! -na(n)
この式の両辺を n!{(-1)^n}で割ると
a(n+1)/[n!{(-1)^n}]=-2/n -a(n)/[(n-1)!{(-1)^n}]
=-2/n +a(n)/[(n-1)!{(-1)^(n-1)}]
これを繰り返し用いて
a(n)/[(n-1)!{(-1)^(n-1)}]
=-2∑[k=1,n-1](1/k) +a(1)
=-2∑[k=1,n-1](1/k) (n≧2)
ゆえに、
n≧2のとき、
a(n)=2{(-1)^n}(n-1)!∑[k=1,n-1](1/k)
n=1のとき
a(1)=0
以上から、
fn(x)=[a(n)+b(n)logx]/(x^n)
ただし、
n≧2のとき、
a(n)=2{(-1)^n}(n-1)!∑[k=1,n-1](1/k)
n=1のとき
a(1)=0
b(n)=2{(-1)^(n-1)}(n-1)!
もう１問は、むずかしくてさっぱり分かりません。