質問<3138>2006/5/3
from=あーあ
「ark微分について」
y=sin^-1x/3 の解き方を教えて下さい。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/10
from=S(社会人)
こんにちは。 y=sin^(-1)(x/3) という arc sine( inverse sine ) の微分と読みますと… ( 答案 ) まず、逆正弦関数を取り扱うのであるから、主たるものとして、 いま定義域は -3≦x≦3、また値域は -π/2≦y≦π/2 に限り考えることにする。 (1) 与式を変形すると、 sin(y)=x/3 両辺を微分すると、 d{sin(y)}/dx=d(x/3)/dx [d{sin(y)}/dy]*(dy/dx)=1/3 cos(y)*(dy/dx)=1/3 dy/dx=(1/3)/{cos(y)} ( y≠±π/2 のとき ) =(1/3)/√{1-sin^2(y)} ( cos(y)>0 ) =(1/3)/√{1-(x/3)^2} ( |x|<3 ) =1/√(9-x^2) ( -3<x<3 ) … ( 答-1/2 ) (2) 一方、 x=±3( y=±π/2 ) のときは ( 答-1 ) について、 x→±3 を考えればよいから lim_[x→3-0,-3+0]1/√(9-x^2) =lim_[h→0]1/√[9-{±(3-h)}^2] =lim_[h→0]1/√{9-(3-h)^2} =lim_[h→0]1/√{h(6-h)} =∞ したがって、 x=±3 においては極限値が存在しない。よって、微分可能ではない。 ( しかして、このとき微(分)係数は考えない。 ) … ( 答-2/2 )