質問

次の問題を教えてください。
全ての実数xに対して
(x^2+x+a)^2-(bx+c)^2=x^4+2x^3-11x^2-28x-12
が成り立つとき,a,b,cを求めよ。ただし,a,b,cは有理数とする。

左辺を整理して右辺の係数と比較したところ
2a-b^2+1=-11
2a-2bc=-28
a^2-c^2=-12
という３本の式が得られたのですが、
この連立方程式が解けません。

答えはa=2,b=±4,c=±4(複合同順)となっています。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２２
from=／で

答えから推測しました。
左辺、右辺ともに、因数分解します。

左辺は簡単ですね。A^2－B^2 の形だから(A+B)(A-B)。
左辺 = {x^2+(１+ｂ)x+ａ+ｃ}{x^2+(１-ｂ)x+ａ-ｃ}   ・・・・(1)

右辺ですが、４次式は因数定理が使えないと因数分解は厳しいので、
必ず何かあると信じて始めます。＾＾；
# 答えから考えてるので (x+2)(x+3)は見えていますが、、、、＾＾；

因数定理を使う問題では、「組み立て除法」が使いこなせると楽で計算ミスが減ります。
※ 「組み立て除法」については他のページや文献などを参考に勉強してください。

1,-1,2,-2,…と順に組み立て除法を試みると、-2 できれいに 0 になります。
残りの３次式も　x^3＋０x^2－１１x－６ とわかり、さらに3,-3,…と組み立て除法を
試みると、-3 できれいに 0 になります。
まぁ、ここは直接代入してみても知れていますが、組み立て除法を使えば、
残りの２次式が　x^2－３x－２ と同時にわかります。

要するに、因数定理より
右辺 = (x+２)(x+３)(x^2－３x－２)

x^2－３x－２ は実数の範囲でこれ以上分解できませんから、

右辺 = (x^2+５x+６)(x^2－３x－２)　　・・・・(2)

(1),(2)の係数比較より、
　１+ｂ=５，ａ+ｃ=６ かつ １-ｂ=-３，ａ-ｃ=-２　・・・・(3)
または、
　１+ｂ=-３，ａ+ｃ=-２ かつ １-ｂ=５，ａ-ｃ=６　・・・・(4)

(3),(4)ともに、(a,b,c)が一意に求まり、

　　(a,b,c)=(2,±4,±4)　（複合同順）

となります。　（解答終り）

お便り２００６／３／２３
from=angel

(左辺)=(x^2+x+a+(bx+c))(x^2+x+a-(bx+c)
と因数分解できることを利用すると、係数の比較の手間が省けます。

因数分解より、
(左辺)=(x^2+x+a+(bx+c))(x^2+x+a-(bx+c)
(右辺)=(x+2)(x+3)(x^2-3x-2)=(x^2+5x+6)(x^2-3x-2)
x^2-3x-2 は、有理数係数の範囲で因数分解できないため、
右辺を2次式同士の積として表した場合、(x^2+5x+6)(x^2-3x-2)の一通りに定まる。

※x^2-3x-2=0 の解は、無理数 (3±√17)/2 のため

・x^2+x+a+(bx+c)=x^2+5x+6, x^2+x+a-(bx+c)=x^2-3x-2 の場合
　x^2+x+a=1/2・(x^2+5x+6+x^2-3x-2)=x^2+x+2
　bx+c=1/2・(x^2+5x+6-(x^2-3x-2))=4x+4
　よって、(a,b,c)=(2,4,4)

・x^2+x+a+(bx+c)=x^2-3x-2, x^2+x+a-(bx+c)=x^2+5x+6 の場合
　x^2+x+a=1/2・(x^2-3x-2+x^2+5x+6)=x^2+x+2
　bx+c=1/2・(x^2-3x-2-(x^2+5x+6))=-4x-4
　よって、(a,b,c)=(2,-4,-4)

まとめて、(a,b,c)=(2,±4,±4)　(複号同順)