質問

次の微分方程式を解け。
１）ｙ’’－２ｙ’＋２ｙ＝ｅのｘ乗・ｃｏｓｘ
２）ｘの２乗・ｙ’’＋３ｘｙ’＋ｙ＝１／（１－ｘ）の２乗
以上教えて下さい。

★希望★完全解答★

お返事２００６／２／１
from=武田

（１）だけできましたが、（２）は右辺からの特殊解がうまく出せませんので、
途中までです。

（１）
ｙ″－２ｙ′＋２ｙ＝ｅ^x・cosｘは二階線形微分方程式と言います。
まず、補助方程式（左辺＝０としたもの）ｙ″－２ｙ′＋２ｙ＝０の係数が
定数のときは、次のようにして一般解を求めます。

この補助方程式の固有方程式ｍ^2－２ｍ＋２＝０の判別式から
Ｄ＝（－２）^2－４（１）（２）＝４－８＝－４＜０
このとき、一般解は、ｙ＝ｅ^(αx)・｛Ａsin（βｘ）＋Ｂcos（βｘ）｝
となる。ただし、α±βｉは固有方程式の解となる。

（Ｄ＞０のときは、ｙ＝Ａｅ^(mx)＋Ｂｅ^(nx)
　　　　　　　　　ただし、ｍ，ｎは固有方程式の解である。
　Ｄ＝０のときは、ｙ＝ｅ^(mx)・（Ａｘ＋Ｂ）
　　　　　　　　　ただし、ｍは固有方程式の重解である。）
上のＡとＢは任意の定数

固有方程式ｍ^2－２ｍ＋２＝０を解くと、ｍ＝１±ｉ
よって、α＝１、β＝１
したがって、一般解は、ｙ＝ｅ^(x)・｛Ａsin（ｘ）＋Ｂcos（ｘ）｝となる。

次に、特殊解を求めるのだが、
右辺ｅ^x・cosｘからｙ＝ｅ^x・（Ｅsinｘ＋Ｆcosｘ）とおいて、
　　　　　　　　　　　^^^^^^　　^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　　　　　↑　　　　　　↑
　　　　　　　　　　　ｅ^xと同じ　　三角関数のときはこの形

これで計算して求めるのだが、うまくいかないときは、次のようにする。
（今回の場合はうまくいかないので次のようにする）
ｙ＝ｘ・ｅ^x・（Ｅsinｘ＋Ｆcosｘ）とｘを前につけて計算する。

ｙ′＝ｅ^x・｛（Ｅ＋Ｅｘ－Ｆｘ）sinｘ＋（Ｆ＋Ｆｘ＋Ｅｘ）cosｘ｝
ｙ″＝ｅ^x・｛（２Ｅ－２Ｆ－２Ｆｘ）sinｘ＋（２Ｅ＋２Ｆ＋２Ｅｘ）cosｘ｝

ｙ″－２ｙ′＋２ｙ＝ｅ^x・cosｘに代入して、
ｅ^x・｛（２Ｅ－２Ｆ－２Ｆｘ）sinｘ＋（２Ｅ＋２Ｆ＋２Ｅｘ）cosｘ｝
　　－２ｅ^x・｛（Ｅ＋Ｅｘ－Ｆｘ）sinｘ＋（Ｆ＋Ｆｘ＋Ｅｘ）cosｘ｝
　　　　＋２ｘ・ｅ^x・（Ｅsinｘ＋Ｆcosｘ）＝ｅ^x・cosｘ
左辺を計算した後、左右を見比べて、Ｅ＝（１／２）、Ｆ＝０
したがって、特殊解はｙ＝ｘ・ｅ^x・（１／２）sinｘ

一般解＋特殊解より、
ｙ＝ｅ^(x)・｛Ａsin（ｘ）＋Ｂcos（ｘ）｝＋（１／２）ｘ・ｅ^x・sinｘ……（答）

（２）
ｘ^2・ｙ″＋３ｘｙ′＋ｙ＝１／（１－ｘ）^2
補助方程式ｘ^2・ｙ″＋３ｘｙ′＋ｙ＝０の係数がｘの関数なので、
（１）のようにはいかない。
そこで、ｘ＝ｅ^t　とおいて変形する。ｔ＝logｘ
（ｄｔ／ｄｘ）＝（１／ｘ）
ｙ′＝（ｄｙ／ｄｘ）＝（ｄｙ／ｄｔ）（ｄｔ／ｄｘ）＝（ｄｙ／ｄｔ）（１／ｘ）
したがって、ｘｙ′＝（ｄｙ／ｄｔ）
同様にして、ｘ^2・ｙ″＝（ｄ^2ｙ／ｄｔ^2）－（ｄｙ／ｄｔ）

これを代入して、
（ｄ^2ｙ／ｄｔ^2）－（ｄｙ／ｄｔ）＋３（ｄｙ／ｄｔ）＋ｙ＝０
（ｄ^2ｙ／ｄｔ^2）＋２（ｄｙ／ｄｔ）＋ｙ＝０
固有方程式　ｍ^2＋２ｍ＋１＝０　の判別式Ｄ＝０より、重解ｍ＝－１
したがって、一般解は
ｙ＝ｅ^(-x)・（Ａｘ＋Ｂ）

右辺１／（１－ｘ）^2　から特殊解を出すわけだが、分数関数のときは、
どのようにおくのか、分からないので、ここでストップ………？？？

お便り２００６／３／３０
from=こうすけ

再質問：２８８１の（２）の特殊解についてどなたかわかる方、教えて下さい。

お便り２００６／３／３０
from=angel

2) x=e^t と置いてしまうと、x＜0 の部分を無視する形になってしまうので、
別の考えで行きました。

y=u/x と置くと、
　y'=u'/x - u/x^2
　y''=u''/x - 2u'/x^2 + 2u/x^3

これを与方程式に代入、
　x^2(u''/x-2u'/x^2+2u/x^3) + 3x(u'/x-u/x^2) + u/x = 1/(1-x)^2
　xu''+u' = 1/(1-x)^2

u'=v/x と置くと、
　u''=v'/x-v/x^2

これを代入
　x(v'/x-v/x^2)+v/x = 1/(1-x)^2
　v'=1/(1-x)^2

よって、v=1/(1-x) + C1
u'=v/x=1/(x(1-x)) + C1/x = (1+C1)/x + 1/(1-x) より
u = (1+C1)log|x|-log|x-1| + C2
A=1+C1, B=C2 と置きなおすと、
u = Alog|x|-log|x-1|+B
y = (Alog|x|-log|x-1|+B)/x

お便り２００６／９／２６
from=五十路

どなたか特殊解の解法を教えて下さい。

お便り２００６／１０／１
from=主夫

angelさんが既に解答されていますが，某テキストに忠実に解いてみます。
カッコの表現がわかりにくいので，一度紙面に書き直してみてください。

(x^2)y''+3xy'+y=1/(1-x)^2
この微分方程式はオイラー型微分方程式である。
x=e^t　とおいてd/dx=D を d/dt=Δ に移せば
(x^2)y''+3xy'+y
=(x^2)(D^2)y+3xDy+y
=Δ(Δ-1)y+3Δy+y
={(Δ+1)^2}y　　　　　　　　　　　　
つまり
{(Δ+1)^2}y=1/(1-e^t)^2

{(Δ+1)^2}y=0 の一般解y_cは
y_c
=(C1+C2*t)e^(-t)
=(C1+C2*log|x|)/x

次に特殊解y_0は
{(Δ+1)^2}y_0=1/(1-e^t)^2 より
y_0
=[1/{(Δ+1)^2}]*{1/(1-e^t)^2}
={1/(Δ+1)}*[{1/(Δ+1)}*{1/(1-e^t)^2}]
={1/(Δ+1)}*{e^(-t)}*∫{(e^t)/(1-e^t)^2}dt
={1/(Δ+1)}*{e^(-t)}*{1/(1-e^t)}
={e^(-t)}*∫[(e^t)*{e^(-t)}/(1-e^t)]dt
={e^(-t)}*∫{1/(1-e^t)}dt               e^t=uとおいてdt=(1/e^t)du=(1/u)du
={e^(-t)}*∫[1/{u(1-u)}]du
={e^(-t)}*∫{(1/u)+1/(1-u)}du
={e^(-t)}*(log|u|-log|u-1|+C)
={e^(-t)}*(log|e^t|-log|(e^t)-1|+C)
=(1/x)*(log|x|-log|x-1|+C)

以上から
y
=y_c+y_0
=(C1+C2*log|x|)/x+(1/x)*(log|x|-log|x-1|+C)

これをまとめて
y=(C1+C2*log|x|-log|x-1|)/x