質問

①関数f(x)=xe^-(x^2)について次の問いに答えよ
ただしeは自然対数の底である。

(1)関数y=f(x)の極地、増減、変曲点、凸凹を調べ
グラフの概形をかけ。ただし
x→+∞　x→-∞　のとき、f(x)→0である。

(2)曲線y=f(x)(x≧0)とx軸および直線x=a(a>0)
で囲まれた部分の面積Saを求め、
さらに極大値 lim a→+∞ Saを求めよ

②a>0とする、直線Lが曲線C1:y=logxと
C2:y=log(x-a)+aのどちらとも接している

(1)Lの方程式を求めよ

(2)L,C1,C2　により囲まれる部分の面積S(a)を求めよ

(3)極大値　lim a→+∞ (S(a)/a^2) を求めよ
ただし、lim a→+∞ (logx/x) =0を用いても良い

③m,nは0または正の整数とする。
定積分 Im,n=∫from 0 to 1 {x^m・(1-x)^n・dx}について次の問いに答えよ

(1)n≧1のとき、Im,n=(n/m+1)・Im+1,n-1を示せ

(2)Im,nを求めよ

(3)S=Σ r=0～n {a^r・(1-a)^n-r/Ir,n-r}を求めよ
ただし0＜a＜1 (aは定数)とする。

お返事２０００／７／２０
from=武田

今回は難しい問題が連続したことと、家族全員が夏風邪にやられたことが
原因で、解答が遅くなりました。やっと完成しました。ヤレヤレ！

問１
（１）
ｆ（ｘ）＝ｘｅ^{-x^2}
ｆ′（ｘ）＝ｅ^{-x^2}＋ｘｅ^{-x^2}・（－２ｘ）
　　　　　＝ｅ^{-x^2}（１－２ｘ²）
ｆ″（ｘ）＝ｅ^{-x^2}（－２ｘ）（１－２ｘ²）＋ｅ^{-x^2}（－４ｘ）
　　　　　＝ｅ^{-x^2}（－２ｘ＋４ｘ³－４ｘ）
　　　　　＝ｅ^{-x^2}（４ｘ³－６ｘ）
増減表とグラフを描いてみると、


（２）

Ｓａ＝∫₀^aｘｅ^{-x^2}ｄｘ
置換積分を使って解くと、
－ｘ²＝ｔとおくと、
－２ｘｄｘ＝ｄｔ
ｘ｜０→ａ
ｔ｜０→－ａ²

　　　　１
Ｓａ＝－─∫₀^{-a^2}ｅ^tｄｔ
　　　　２

　　　　１
　　＝－─［ｅ^t］₀^{-a^2}
　　　　２

　　　　１
　　＝－─（ｅ^{-a^2}－ｅ⁰）
　　　　２

　　　１
　　＝─（１－ｅ^{-a^2}）　……（答）
　　　２
したがって、
　　　　　　　１
ｌｉｍ　Ｓａ＝─　……（答）
ａ→∞　　　　２


問２
（１）

対数関数ｙ＝ｌｏｇｘ上の接点Ｐ（ｘ₁、ｙ₁）とすると、
ｙ′＝１／ｘより、
ｙ₁＝ｌｏｇｘ₁
接線Ｌの方程式は
ｙ－ｌｏｇｘ₁＝１／ｘ₁（ｘ－ｘ₁）
これがもう一つの対数関数ｙ＝ｌｏｇ（ｘ－ａ）＋ａと接するから
ｙ′＝１／（ｘ－ａ）より、
１／（ｘ－ａ）＝１／ｘ₁
ｘ₁＝ｘ－ａ
ｘ＝ｘ₁＋ａ
これを代入して、
ｙ＝ｌｏｇ（ｘ₁＋ａ－ａ）＋ａ
　＝ｌｏｇｘ₁＋ａ
したがって、もう一つの接点Ｑ（ｘ₁＋ａ，ｌｏｇｘ₁＋ａ）を接線Ｌに代入すると、
ｌｏｇｘ₁＋ａ－ｌｏｇｘ₁＝１／ｘ₁（ｘ₁＋ａ－ｘ₁）
ａ＝ａ／ｘ₁
∴ｘ₁＝１
Ｐ（１，０）、Ｑ（１＋ａ，ａ）
ｙ－０＝１（ｘ－１）より、
接線Ｌ：ｙ＝ｘ－１　……（答）

（２）

２つの対数関数の交点は連立より、
｛ｙ＝ｌｏｇ（ｘ－ａ）＋ａ
｛ｙ＝ｌｏｇｘ
ｌｏｇｘ＝ｌｏｇ（ｘ－ａ）＋ａ
　　　　ｘ
ｌｏｇ───＝ａ
　　　ｘ－ａ

　ｘ
───＝ｅ^a
ｘ－ａ

ｘ＝ｘｅ^a－ａｅ^a
ｘ（ｅ^a－１）＝ａｅ^a

　　　　ａｅ^a
∴ｘ＝────
　　　ｅ^a－１
したがって、囲まれた面積Ｓ（ａ）は２つの部分の積分の和となるから

Ｓ（ａ）＝∫₁^{ae^a/(e^a-1)}｛（ｘ－１）－ｌｏｇｘ｝ｄｘ
　　　　　＋∫_ae^a/(e^a-1)^1+a｛（ｘ－１）－ｌｏｇ（ｘ－ａ）－ａ｝ｄｘ
途中の計算が大変なので、省略して
　　　　　　１　　　　　　　　　ａ
Ｓ（ａ）＝－─ａ²＋ａｌｏｇ｜────｜　……（答）
　　　　　　２　　　　　　　　ｅ^a－１

（３）
Ｓ（ａ）　　１　　１　　　　　ａ
────＝－─　＋─ｌｏｇ｜────｜
　ａ²　　　２　　ａ　　　　ｅ^a－１
　　　　　　１　ｌｏｇａ　ｌｏｇ（ｅ^a－１）
　　　　＝－─＋────－─────────
　　　　　　２　　ａ　　　　　　ａ

　　　ｌｏｇｘ
ｌｉｍ────＝０より、
ｘ→∞　　ｘ

　　　ｌｏｇａ　　　　　　ｌｏｇ（ｅ^a－１）
ｌｉｍ────＝０、ｌｉｍ─────────＝０
ａ→∞　　ａ　　　　ａ→∞　　　　　ａ

したがって、
　　　　Ｓ（ａ）　　１
ｌｉｍ　────＝－─　……（答）
ａ→∞　　ａ²　　　２

問３
（１）
左辺＝Ｉ_m,n

　　＝∫₀¹ｘ^m（１－ｘ）ⁿｄｘ

　　　　　ｘ^m+1　　　　　　　　　　　　　　ｘ^m+1
　　＝［────（１－ｘ）ⁿ］₀¹－∫₀¹────・ｎ（１－ｘ）^n-1（－１）ｄｘ
　　　　　ｍ＋１　　　　　　　　　　　　　ｍ＋１

　　　　　　　　ｎ
　　＝０－０＋───∫₀¹ｘ^m+1（１－ｘ）^n-1ｄｘ
　　　　　　　ｍ＋１

　　　　ｎ
　　＝───・Ｉ_m+1,n-1＝右辺
　　　ｍ＋１

（２）
　　　　　ｎ　　ｎ－１
Ｉ_m,n＝───×───×Ｉ_m+2,n-2
　　　　ｍ＋１　ｍ＋２

　　　　　ｎ　　ｎ－１　ｎ－２　　　　　１
　　　＝───×───×───×……×───×Ｉ_m+n,0
　　　　ｍ＋１　ｍ＋２　ｍ＋３　　　　ｍ＋ｎ

　　　　　ｍ！ｎ！
　　　＝─────・∫₀¹ｘ^m+nｄｘ
　　　　(ｍ＋ｎ)！

　　　　ｍ！ｎ！　　　　ｘ^m+n+1
　　　＝─────・［─────］₀¹
　　　　(ｍ＋ｎ)！　　　m+n+1

　　　　　　ｍ！ｎ！
　　　＝────────　……（答）
　　　　（ｍ＋ｎ＋１）！

（３）
　　n　　ａ^r（１－ａ）^n-r
Ｓ＝Σ　─────────
　　r=0　　　Ｉ_r,n-r

　　n　　ａ^r（１－ａ）^n-r
　＝Σ　─────────
　　r=0　　ｒ！（ｎ－ｒ）！
　　　　　────────
　　　　　　（ｎ＋１）！

　　n
　＝Σ　（ｎ＋１）_nＣ_rａ^r（１－ａ）^n-r
　　r=0

　　　　　　　n
　＝（ｎ＋１）Σ　_nＣ_rａ^r（１－ａ）^n-r
　　　　　　　r=0

　＝（ｎ＋１）｛ａ＋（１－ａ）｝ⁿ
　＝ｎ＋１　……（答）