質問

①
複素数平面上で、原点Ｏと異なる点Ａ(a)通りＯＡベクトルに垂直な直線
をLaとし、点P(z)をLaに関して対称移動した点を表す複素数をZaとおく。

（１）ZaをZ,Zバー(共役複素数）、a,aバー（共役複素数）のうち適当な
　　　ものを用いて表せ

（２）原点を中心とする半径１の円周上に頂点がある正三角形ＢＣＤがあ
　　　る。ただし、B(β）、C(γ)、D(δ)とするとき、
　　　0°≦argβ＜argγ＜argδ＜360°である。
　　　zが△BCDの辺上を動くとき｜Zβ-Zδ|が最小となるzを求めよ
　　　またそのときのargzをargβで表せ

②
xy平面上に円Ｃ：X^2＋Y^2=1がある。
点P(p,2p)(pは１、-1でない,|p|>1÷√5)を通るCの2接線
と直線L:Y=2x-3 との交点をQ,Rとするとき、
三点P,Q,Rを通りy軸に平行な軸をもつ放物線の
方程式をPを用いて表せ。

お返事２０００／６／２４
from=武田

大学の複素数の問題でしょうか？「高校数学の窓」では難しくて、
解けそうにありませんでしたが、以前同じような問題の質問が来た
とき、購入した梅沢敏夫・後藤達生共著「複素数と幾何学」（培風
館）を覗いたところ使えそうな内容がありましたので、そこから類
推して解いてみました。合っているかどうかは分かりませんが、参
考にはなるでしょう。
問１(1)

原点と点Ｂ(2a)を結んだＯＢの中点Ａ(a)を通る垂直二等分線は複素
数の世界では、次のように表される。
　　　　　　　　＿　　＿
Ｌａ：ｚ／２ａ＋ｚ／２ａ＝１
　　　　　　　　　　　＿
したがって、両辺に２ａａをかけると、
＿　　　＿　　　＿
ａｚ＋ａｚ＝２ａａ……①

この①に直交する直線で、点Ｑ(Za)を通るのは
＿　　　＿　＿　　　＿
ａｚ－ａｚ＝ａZa－ａZa……②
①と②の交点Ｈ(h)は、連立させて、①＋②より
　＿　　　　＿　＿　　　＿
２ａｚ＝２ａａ＋ａZa－ａZa
　＿　　　　＿　＿　　　＿
２ａｈ＝２ａａ＋ａZa－ａZa……③
点ＨはＰＱの中点だから、
　　ｚ＋Za　　　　＿　　＿　　＿
ｈ＝───より、２ａｈ＝ａｚ＋ａZa……④
　　　２
③と④より、
＿　　＿　　　　＿　＿　　　＿
ａｚ＋ａZa＝２ａａ＋ａZa－ａZa
＿　　　　＿　　＿
ａｚ＝２ａａ－ａZa
　＿　　　＿　＿
ａZa＝２ａａ－ａｚ
両辺に共役複素数をとると、
＿　　　＿　　　＿
ａZa＝２ａａ－ａｚ
したがって、
　　　　　　　　＿　＿
Za＝２ａ－（ａ／ａ）ｚ……（答）

問１(2)

｜ｚβ－ｚδ｜＝｜（ｚβ－ｚγ）＋（ｚγ－ｚδ）｜
　　　　　　　≦｜ｚβ－ｚγ｜＋｜ｚγ－ｚδ｜
　　　　　　　＝｜ｚ（β－γ）｜＋｜ｚ（γ－δ）｜
　　　　　　　＝｜ｚ｜・｜β－γ｜＋｜ｚ｜｜γ－δ｜
｜β－γ｜や｜γ－δ｜は△ＢＣＤの辺の長さだから√３より、
｜ｚβ－ｚδ｜≦２√３｜ｚ｜
｜ｚ｜が最小となるのは、図のｚの場所（三ヶ所ある）だから、
｜ｚ｜＝１／２より、ａｒｇβ＝θとすると、
　　１　　　　　π　　　　　　　π
ｚ＝─｛cos(θ＋─)＋ｉsin（θ＋─)｝
　　２　　　　　３　　　　　　　３
または
　　１　　　　　３π　　　　　　　３π
ｚ＝─｛cos(θ＋──)＋ｉsin（θ＋──)｝
　　２　　　　　３　　　　　　　　３
または
　　１　　　　　５π　　　　　　　５π
ｚ＝─｛cos(θ＋──)＋ｉsin（θ＋──)｝
　　２　　　　　３　　　　　　　　３
　　　　　　　　　　ｎπ
ａｒｇｚ＝ａｒｇβ＋──（ただし、ｎ＝１，３，５）
　　　　　　　　　　　３

問２

円ｘ²＋ｙ²＝１上の接点（ａ，ｂ）とすると、
ａ²＋ｂ²＝１……①
円の接線の公式より、ａｘ＋ｂｙ＝１
点Ｐ（ｐ、２ｐ）を通るから
ａｐ＋ｂ２ｐ＝１……②
①と②より、
ａ＝（１－２ｂｐ）／ｐ
（１－２ｂｐ）²＋（ｂｐ）²＝ｐ²
１－４ｂｐ＋４（ｂｐ）²＋（ｂｐ）²－ｐ²＝０
５ｐ²ｂ²－４ｐｂ＋１－ｐ²＝０
ｂの２次方程式だから、解の公式より、
　　２ｐ±√｛４ｐ²－５ｐ²（１－ｐ²）｝
ｂ＝───────────────────
　　　　　　　　　５ｐ²

　　２ｐ±√（－ｐ²＋５ｐ⁴）
　＝─────────────
　　　　　５ｐ²

　　２ｐ±ｐ√（５ｐ²－１）
　＝─────────────
　　　　　５ｐ²

　　２±√（５ｐ²－１）
　＝───────────
　　　　　５ｐ

したがって、
　　－１±２√（５ｐ²－１）
ａ＝───────────
　　　　　－５ｐ
２つの接線の方程式は
－１±２√（５ｐ²－１）　　２±√（５ｐ²－１）
───────────ｘ＋───────────ｙ＝１
　　　－５ｐ　　　　　　　　　　　５ｐ
これと与えられた直線ｙ＝２ｘ－３との交点Ｒ，Ｑは、連立して
　　５ｐ＋６＋３√（５ｐ²－１）　１０ｐ－３＋６√（５ｐ²－１）
Ｒ（──────────────，──────────────）
　　　　　　　５　　　　　　　　　　　　　　　５

　　５ｐ＋６－３√（５ｐ²－１）　１０ｐ－３－６√（５ｐ²－１）
Ｑ（──────────────，──────────────）
　　　　　　　５　　　　　　　　　　　　　　　５
この２点とＰ（ｐ，２ｐ）を放物線ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃに代入して、
連立すると（計算が大変なので、省略）
　　　１
ｙ＝────｛５ｘ²－（６ｐ²＋１０ｐ＋６）ｘ＋（５ｐ²＋１２ｐ）｝……（答）
　　３－３ｐ²