質問＜２５５１＞２００５／８／２２
from=教えてください
「解析学」

以下の問題を教えてください。

（１）y=tan^-1xのn次導関数について答えなさい。

①y'=sin(y+π/2)cosyを示せ。
②y''=sin(2y+2・π/2)cos^2yを示せ。
③y^(n+1)=n!sin{(n+1)y+(n+1)π/2}cos^n+1yを帰納法で示せ。

以上の３問です。
分かりにくかもしれませんが、
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／９／２２
from=wakky

①だけ回答します。
すると、②は積の微分と三角関数の加法定理を利用。
③は確かめていませんが
普通に数学的帰納法で証明できるのではないでしょうか？

①
ｙ＝ａｒｃｔａｎｘより
ｔａｎｙ＝ｘ
両辺をｘで微分すると
（１／ｃｏｓ^2ｙ）・ｙ’＝１
よって
ｙ’＝ｃｏｓ^2ｙ
　　＝ｃｏｓｙ・ｃｏｓｙ
　　＝ｓｉｎ（ｙ＋π／２）・ｃｏｓｙ