質問＜２５０２＞２００５／８／１
from=パルナーバ
「高次導関数の一般項」

f(x)=1/(1+x^2)についてf(x)のn次導関数をa(n)とおくとき、
数列{a(n)}の一般項を求めよ。

多分漸化式を使うと思うのですが、よく解りません。
是非御教え願いたい所存でございます。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／８／５
from=KINO

問題が変だと思います。
「導関数」は数ではありませんので，数列にはならないと思います。
とりあえず高階導関数に関して成り立つ「関数としての」漸化式は次のように
して導けます。
g(x)=1+x^2 とおくと，
g(x)f(x)=1.
ライプニッツの公式という，関数の積の高階の導関数を一般に表す公式を利用
します。それは
(g(x)f(x))^((n))=Σ[k=0,n]nCk g^((k))(x)f^((n-k))(x)
で与えれられます。ここに nCk は n 個のものから k 個を取り出す組み合わせ
の個数です。また，h^((0)) は，微分しない，そのままの関数 h 自身を表します。
さて，(1+x^2)'=2x, (1+x^2)''=2, (1+x^2)'''=0 であることから，ライプニッ
ツの公式の最初の3項（k=0, 1, 2 の項）だけが生き残ることがわかります。
よって n≧2 に対し
(g(x)f(x))^((n))
=Σ[k=0,n]nCk g^((k))(x)f^((n-k))(x)
=gf^((n))+ng'f^((n-1))+(n(n-1)/2)g''f^((n-2))
=(1+x^2)f^((n))+2nxf^((n-1))+n(n-1)f^((n-2))
となります。
一方，実は g(x)f(x)=1 でしたから，(g(x)f(x))^((n))=0.
よって
(1+x^2)f^((n))(x)+2nxf^((n-1))(x)+n(n-1)f^((n-2))(x)=0
という関数の漸化式を得ます。
なお，n=1 については，
0=(gf)'=2xf+(1+x^2)f' となります。
これから，たとえば f^((n))(0)=b[n] とおくと，{b[n]} はれっきとした数列で，
漸化式
b[0]=1, b[1]=0, b[n]=-n(n-1)b[n-2] (n≧2) を得ます。
これより，
n が奇数の時は b[n]=0,
n が偶数の時は b[n]=(-1)^(n/2)*n!
となることがわかります。

お便り２００５／８／６
from=Anonymous Coward

問題文が不完全？ {a(n)} は数列？それとも関数列？