質問＜２４３８＞２００５／７／３
from=なおひ
「複素数平面の問題」

２つの複素数Ｚ1，Ｚ2（Ｚ1≠０，Ｚ2≠０）について、
Ｚ1＾２　＋Ｚ1Ｚ2＋Ｚ2＾２　＝０　が成り立つとき、

①複素数平面上において、
原点をＯとし、Ｚ1，Ｚ2をあらわす点をそれぞれＰ，Ｑとするとき、
∠ＰＯＲの大きさを求めよ。

②｜Ｚ1｜＝２とするとき、｜Ｚ1－Ｚ2｜の値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／７／７
from=juin

(z1)^2+z1z2+(z2)^2=0の両辺を(z1)^2で割る。
1+z2/z1+(z2/z1)^2=0ここで、w=z2/z1とおくと
1+w+w^2=0だから、w=exp(2πi/3)
∠POQ=2π/3

|z1|=2のとき、|z2|=|wz1|=2
PQの中点をMとすると、
△OPQはOが直角となる、
直角三角形だから、PM=√3,PQ=2√3

お便り２００５／７／７
from=wakky

∠PORは∠POQの誤りと思われます。
①
Z1^2+Z1Z2+Z2^2=0・・＊
Z1≠0，Z2≠0だから
＊の両辺をZ2^2で割ると
(Z1/Z2)^2+(Z1/Z2)+1=0
Z1/Z2=tとおいて方程式を解くと
t=(-1±√3・i)/2
よって
Z1/Z2=(-1±√3・i)/2=cos(±120°)+i･sin(±120°)
arg(Z1/Z2)=arg(Z1)-arg(Z2)=±120°だから
∠POQの大きさは120°・・・（答）

②
①より|Z1/Z2|=|Z1|/|Z2|=1
|Z1|=2より|Z2|=2
|Z1-Z2|=|Z2(Z1/Z2-1)|=|Z2||(Z1/Z2)-1|
=2|{(-1±√3・i)/2}-1|=2√3・・・(答）
あるいは
|Z1|=|Z2|=2
∠POQ=120°から
余弦定理を利用してもよさそうです。