質問＜２４１２＞２００５／６／８
from=もくり
「不定積分」

不定積分∫cosx/(1+sinx) dxを2通りの方法で求めよ。
(1)sinx=tとおく
(2)tan(x/2)=tとおく

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／１３
from=KINO

C は積分定数です。

(1) dt=cosx*dx なので
∫(cosx/(1+sinx))dx=∫dt/(1+t)=log|1+t|+C=log(1+sinx)+C.

(2) 1+tan^2(x/2)=1/cos^2(x/2) より cos^2(x/2)=1/(1+t^2). また
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)=2tan(x/2)cos^2(x/2)=2t/(1+t^2),
cosx=2cos^2(x/2)-1=2/(1+t^2)-1=(1-t^2)/(1+t^2).
そして dt=dx/(2cos^2(x/2))=(1+t^2)dx/2 より dx={2/(1+t^2)}dt.
以上より，
∫(cosx/(1+sinx))dx
=∫{(1-t^2)/(1+t)^2}{2/(1+t^2)}dt
=2∫(1-t)dt/(1+t)(1+t^2).
ここで，
(1-t)/{(1+t)(1+t^2)}=a/(1+t)+(bt+c)/(1+t^2)
とおいて a, b を定めます。右辺を通分すると
(分子)=a(1+t^2)+(1+t)(bt+c)=(a+b)t^2+(b+c)t+(c+a)
となるので，これが 1-t に恒等的に等しいためには
a+b=0, b+c=-1, c+a=1 でなければなりません。
この連立方程式を解くと，a=1, b=-1. c=0 となります。よって
(1-t)/{(1+t)(1+t^2)}=1/(1+t)-t/(1+t^2)
と部分分数に分解されます。よって
2∫dt/(1+t)(1+t^2)
=2{∫dt/(1+t)-∫tdt/(1+t^2)}
=2log|1+t|-log(1+t^2)+C
=log{(1+t)^2/(1+t^2)}+C.
ここで，1+sin^2(x)=(1+t)^2/(1+t^2) であることから，
(1) と (2) で得られた結果は同じものであることがわかります。

お便り２００５／６／１３
from=wakky

通常は（１）の方法でやるのが定石でしょうねぇ。
ｃｏｓｘ／（１＋ｓｉｎｘ）＝（１＋ｓｉｎｘ）’／（１＋ｓｉｎｘ）
ですから
ｌｏｇ｜１＋ｓｉｎＸ｜＋Ｃってところでしょうね。
どんな参考書にも出てると思いますよ
（２）はこの問題を解くときには使わないと思いますが、
多分、この置換で、大抵の三角関数の積分ができるという事例を示したかった
のでしょう。
ちなみに、次の法則じみたものを示しておきます。
積分の∫記号は省略します。
ｆ（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘのとき・・・ｓｉｎｘ＝ｔと置換
ｆ（ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘのとき・・・ｃｏｓｘ＝ｔと置換
ｆ（ｔａｎｘ、ｃｏｓ^2ｘ、ｓｉｎ^2ｘ）のとき、ｔａｎｘ＝ｔと置換
その他の場合
ｔａｎ（ｘ／２）＝ｔと置換
こんな感じで（２）をやってみてください
いささか酔ってますので、間違ってたらごめんなさいね（笑

お便り２００５／６／１５
from=WU

∫cosx/(1+sinx) dx
（１）
ｔ＝SINｘとおくｄｘ/ｄｔ＝１/COSｘであるから
　（与式）＝∫(COSｘ/（１+ｔ）)(ｄｘ/ｄｔ)ｄｔ
　　　　　＝∫１/(１+ｔ)ｄｔ
　　　　　＝∫(１＋ｔ)'/(１＋ｔ)ｄｘ
　　　　　＝log(１＋ｔ)＋Ｃ
　　　　　＝log(１＋SINｘ)＋Ｃ　　(Ｃは定数)

(２)
(与式)＝∫(COSｓの２乗-SINｓの２乗)/(１+2SINｓCOSｓ)ｄｘ
(但しｓ＝ｘ/2、ｄｘ/ｄｔ＝２COSｘの２乗))
　　　＝∫(上と同じ式)×２COSｓの２乗×ｄｔ
　　　＝∫(COSｓの２乗-SINｓの２乗)/(１+SINｓCOSｓ)×(COSｓの２乗)ｄｔ
　　(ここで二倍角の定理)
ここで、TANｓ＝ｔ、1/(COSｓの２乗)＝ｔの２乗+１であることを考え合わせると
(与式)＝２∫(１－ｔ２乗)/(１/(COSｔ２乗)+ｔ)(COSｔ２乗)ｄｔ
　　　＝２∫(１－ｔ２乗)/(２ｔ+１+ｔ２乗)×１/(１+ｔ２乗)ｄｔ
　　　＝２∫(１－ｔ)/{(１+ｔ)(１+ｔ２乗)}ｄｔ　(式整理)
　　　＝２∫{１/(ｔ+１)－ｔ/(ｔ２乗＋１)}
　　　＝２{log(ｔ＋１)－(1/2)log(ｔ２乗＋１)}＋Ｃ
(以下Ｃ一部省略)　　　
　　　＝log{(ｔ２乗＋２ｔ＋１)/(ｔ２乗＋１)}
　　　＝log{１＋２ｔ/(ｔ２乗＋１)}
　　　＝log{１＋２TANｓ/(TANｓ２乗＋１)}
　　　＝log{１＋２SINｓCOSｓ/(SIN２乗＋COS２乗)}
　　　＝log(１＋SINｘ)＋Ｃ　(二倍角の定理)

お便り２００６／９／１８
from=maro

質問＜２４１２＞のWUさんの解答の中で
(与式)＝∫(COSｓの２乗-SINｓの２乗)/(１+2SINｓCOSｓ)ｄｘ
(但しｓ＝ｘ/2、ｄｘ/ｄｔ＝２COSｘの２乗))
　　　＝∫(上と同じ式)×２COSｓの２乗×ｄｔ
　　　＝∫(COSｓの２乗-SINｓの２乗)/(１+SINｓCOSｓ)×(COSｓの２乗)ｄｔ
とありますが、
 ∫(cos^2q-sin^2q)/(1+2sinqcosq)・2cos^2q・dx
=∫(cos^2q-sin^2q)/(1+sinqcosq)・cos^2q・dt
※本来はsですが見にくくなるのでqに変えてあります
と変化する過程がわかりません。
どなたか詳しくお願いします。

お便り２００６／１０／７
from=主夫

私は解答者さん本人ではありませんので，真意はわかりませんが，
おそらく
∫(cos^2q-sin^2q)/(1+2sinqcosq)・2cos^2q・dx
ここのところを
∫(cos^2q-sin^2q)/(2+2sinqcosq)・2cos^2q・dx
と間違えて約分されたのではないかなぁと思います。

そのほかの部分は検証していませんので，最終的な答えが正しいのかどうかは
わかりかねます。