質問＜２３９０＞２００５／５／２８
漸化式 ａ（１）＝Ｃ，ａ（ｎ＋１）＝√〔ａ（ｎ）＋２〕 〔ｎ＝１，２，３ ・・・〕 ただし，ＣはＣ≧－２をみたす定数とする。 このａ（ｎ）の極限値lim ｘ→∞ ａ（ｎ）を教えてください。 ★希望★完全解答★
お便り２００５／５／２９
from=juin
質問＜２３７４＞に解答があります。 a(1)=C,a(n+1)=√(a(n)+2) lima(n)=xとすると、x=√(x+2) x^2=x+2 x^2-x-2=0 (x-2)(x+1)=0 x=2,-1第２項から先はa(n)＞0だからlima(n)=2
お便り２００５／５／３１
from=漸化式苦手学生
アドバイスありがとうございます。 どうも解法の流れがわかりません。 以前の質問・回答と今回、回答いただいた、２つをあわせた形でアドバイスを いただきたく思います。 どうぞよろしくお願いいたします。 ＞一般項はわかりませんが、極限値は２です。 ＞漸化式の両辺から２を引きその絶対値を取って、 ＞右辺を分母の有理化の逆の操作から、 ＞|ａ(n+1)－２|＜0.5|ａ(n)－２|を得ることからみちびけます。 ＞a(1)=C,a(n+1)=√(a(n)+2) ＞lima(n)=xとすると、x=√(x+2) ＞x^2=x+2 ＞x^2-x-2=0 ＞(x-2)(x+1)=0 ＞x=2,-1 ＞第２項から先はa(n)＞0だから ＞lima(n)=2
お便り２００５／６／１
from=UnderBird
まず、極限値があるか、ないかを確かめます。
もし、極限値が存在すると確認できているなら、
lim[n→∞] a(n+1)=lim[n→∞] a(n)=αだから、
α=√(α+2)を解けば、極限値が求められます。
では、極限値が存在するかわからない場合は、
１つは一般項a(n)を求めてから、n→∞とすれば良いですね。
しかし、一般項が具体的に求められなくても不等式による評価で極限値を
求められるものもあるということです。
（しかし、上で述べたようにある程度極限値の存在を確認した上で以下の
不等式を作っているので、その辺は頭の中で考えている順序と解答は逆に
なっていて、初めて解答を見ると不思議な気がするものになります。
その辺は早く慣れてしまって下さい）
a(n+1)-2=√(a(n)+2)-2
ここで、分母分子に√(a(n)+2)+2を掛けると
={a(n)－2}/{√(a(n)+2)+2}
√(a(n)+2)+2≧2より
≦{a(n)-2}／2
よって、a(n)-2≦{a(n-1)-2}／2
≦{a(n-2)-2}／2^2
≦{a(n-3)-2}／2^3
・・・・・・
≦{a(1)-2}／2^(n-1)
よって、n→∞とすると。右辺→0
すなわち、a(n)-2→0
∴lim[n→∞]a(n)=2 となる。
上の不等式は普通絶対値を付けて書くことが多いです。
極限値の存在を確認せずαを求めようとすると
例えば、a(n+1)=2a(n)+1 , a(1)=1のような数列は、∞に発散するのもかかわらず、
α=2α+1を解くと、α=－1となるので注意です。
お便り２００５／７／３
from=漸化式苦手学生
UnderBirdさんの回答で、なぜ両辺から２を引くのでしょうか？ 教えてください。
お便り２００５／７／７
from=UnderBird
両辺からなぜ2を引くのかという質問ですが、もう少し具体的に教えてください。 ２は何か という部分は前回説明しました。 なぜ極限値２を引くのかということでしたら、 lim(n→∞)a(n)=2 ⇔ lim(n→∞)|a(n)-2|=0 そして、|a(n+1)-2|=ｋ|a(n)-2| (-1＜k＜1) と変形できれば |a(n)-2|=k^(n-1)|a(1)-2|より lim(n→∞)|a(n)-2|=0を導ける。 または、もっと違う部分の質問でしょうか？
お返事２００５／７／９
from=武田
前の前ののUnderBirdさんの解答の前段で、次のように述べています。 -------------------------------------------------------- まず、極限値があるか、ないかを確かめます。 もし、極限値が存在すると確認できているなら、 lim[n→∞] a(n+1)=lim[n→∞] a(n)=αだから、 α=√(α+2)を解けば、極限値が求められます。 では、極限値が存在するかわからない場合は、 １つは一般項a(n)を求めてから、n→∞とすれば良いですね。 しかし、一般項が具体的に求められなくても不等式による評価で極限値を 求められるものもあるということです。 （しかし、上で述べたようにある程度極限値の存在を確認した上で以下の 不等式を作っているので、その辺は頭の中で考えている順序と解答は逆に なっていて、初めて解答を見ると不思議な気がするものになります。 その辺は早く慣れてしまって下さい） -------------------------------------------------------- 特に最後の（ ）の中の「早く慣れて」につきるでしょう。 lim[n→∞] a(n+1)=lim[n→∞] a(n)=αとおくと、 ｎ→∞のとき、 ａ（ｎ＋１）＝√〔ａ（ｎ）＋２〕は、 α=√(α+2) となるから、これを解いて、α＝２，－１ ａ（１）＝Ｃ（Ｃ≧－２をみたす定数）より、 ｎ＞２のとき、ａ（ｎ）＞０ したがって、α＞０より、α＝２ そこで本当に２が極限値になるかは、変形によって確認するわけですが、 そのとき、「引く２（αの数値）」とおくのがコツなのです。 理由は、前ののUnderBirdさんの解答にある -------------------------------------------------------- lim(n→∞)a(n)=2 ⇔ lim(n→∞)|a(n)-2|=0 -------------------------------------------------------- からきています。
お便り２００６／３／２４
from=／で
やはり、まず最初に極限値が存在することを示す必要があると思います。
そうすると、それをαとしたらα=√(α+2)だからα＝２という単純な話に
なりますよね。
Cとなっているのが曲者で、C と 2 の大小関係で場合分けが必要です。
C ＜ 2 ⇒ 数列{a_n}は単調増加で、上に有界
C ＝ 2 ⇒ a_n = 2
C ＞ 2 ⇒ 単調減少で、下に有界
だから数列{a_n}に極限値は存在します。
証明のヒント。
例えば、C ＜ 2 の場合、a_n ＜ 1+2^(1/2) を数学的帰納法で証明すると
上に有界であることが言えますし、単調増加は a_(n+1)=(2 + a_n)^(1/2)
の両辺を２乗したものと a_n=(2 + a_(n-1))^(1/2) の両辺を２乗したものの
辺々の差をとって、因数分解した式から考えると見えるでしょう。