質問

cos300°の値と、その求め方
できれば、180°を超える360°までのcosの値の求め方教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／５／２７
from=亀田馬志

もう最近独りで『ロジスティック』なるモノの勉強で大変なんで(笑)、たまには息
抜きもイイだろ、と(笑)。
『解ける問題』ってサイコーですよね(笑)。『解けるんだか解けないんだか分から
ん』問題だとアタマに来ます(笑)。

マユさんは『三角比』って言ってる辺り、高校1年生なのかな?もしくは中学生なの
かもしれません。
『三角比』ってのは単に三角形に関する話題なんですが、コレが高校2年生くらいに
なると『三角関数』なるモノに化けます。コレで『三角形の各角度の和は180度』か
ら離れるんですが、ひょっとしたらまだ『単位円』知らないかもしれないんで、そこ
から話始めますね。
x-y-座標上に適当な点P(x,y)を置きます。便宜上原点からの距離(取りあえず径とで
も呼びましょうか?)を1、つまり√(x^2＋y~2)＝1なる点とします。ちょっとグラフに
書いてみて下さい。
その点Pと原点とx軸(点Pから降ろした垂線との交点)使って直角三角形が描けますよ
ね?そこで径とx軸の間の角度をθとします。よって

･点P(x,y)＝(cosθ,sinθ)

になる、って事分かりますか?まずその情報を図に書き込んでみてください。
さて、今仮定として径の長さは固定されてて常に『1』です。しかしながら点Pの位置、
ってのはθによって移動可能、ってのは分かるハズです。ハッキリ言っちゃえば半径
1の円としての軌跡を描くんです。これを『単位円』と呼びます。そして、この単位
円上を点Pはグルグル回る。そしてその度に点Pの成分(cosθ,sinθ)の値は変化して
行く。
さて、てなワケで問題見てみましょう。

＞＞cos300°の値と、その求め方

先ほど『そこで径とx軸の間の角度をθとします。』とか書いたんですが、『300°』
ってのをどう捉えるのか?って問題はなおざりになってました。と言うのも図で
『300°』に関する点Pは何となくプロット出来るでしょう。第4象限上に点Pが存在し
てるハズです。
しかしながら『径とx軸の間の角度をθとする』っつっても2つ解釈できるんですよね。
一つはバカ正直に(笑)x＝1の点から円の軌跡を考えてグルっと300度計った場合。もう
一つは逆に『x＝1から第4象限に直接点Pを60度回す』ズル(笑)。コッチのヒトはアタ
マがイイ(笑)。
何でか、ってえと『定義』がこの場合曖昧だからです。通常『角度が正とは単位円で
反時計回りに径を移動させた場合の径とx軸が成す角を表す』んです。つまり2番目の
手法は『ズル』として禁止なんですね(笑)。
しかしながら『数値として見た場合』次の事は明らかなんです。

･cos300°＝cos(－60°)･･･①

まず図からこの事は言えます。
次に点Pのx座標はcosθでした。しかしながら第1象限と第4象限のxの値はどちらも正
でしかも数値が一致してるハズです。図で確かめてください。よって次の事も言え
ます。

･cos(－60°)＝cos60°･･･②

よって①と②より

･cos300°＝cos60°

と言えます。よって

･cos300°＝1/2

になります。

ってのが原理なんですが、イチイチ図書いて確かめていくのもメンドーです。そこで
『加法定理』と言われる強力な武器が数学にはあります。まあ、『裏ワザ』です
よね(笑)。

･cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ･･･③
･cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ･･･④

ここでαとβは任意です。そこでマユさんの仰る

＞できれば、180°を超える360°までのcosの値の求め方教えてください。

を考えてみましょう。単純に言うと、

θ＝180°＋δ＝360°－φ

のトキどうするか、って事ですね。上の条件を③式、④式に代入してみましょう。

･cos(180°＋δ)＝cos180°cosδ－sin180°sinδ･･･③'
･cos(360°－φ)＝cos360°cosφ＋sin360°sinφ･･･④'

ってワケです。アトはcos180°、sin180°、cos360°、sin360°の値が分かればイイ
だけです。単位円使って考えてみて下さい。答えは60秒後(笑)。








60秒経ったんで(笑)、結果を示します。

･cos180°＝－1
･sin180°＝0
･cos360°＝1
･sin360°＝0

ってのが答えです。点Pの角度に拠っての座標を考えれば分かりますよね。
よって、

･cos(180°＋δ)＝－cosδ
･cos(360°－φ)＝cosφ

となります。以上です。