質問＜２３５＞２０００／３／１
from=角田雄介
「電機大問題」

この問題は、東京電機大学の編入試験の問題です。
自分が、今度受けるためやっているのですが、
やり方がわからないのが多々あるためお願いします。

１．ｘ＝０におけるテイラー展開を求めよ。
　　　①ｅx
　　　②coshｘ
２．次の関数をu(x,y)として、すべての２次偏導関数を求めよ。
　　　①ｘ3＋ｙ3－２ｘｙ
　　　②log（ｘ2＋ｙ2）
３．次の積分を計算せよ。
　　　①次の不定積分を求めよ。
　　　　　　　　　１
　　　　　Ｉ＝∫────ｄｘ
　　　　　　　　ｘ2＋４

　　　②次の積分を求めよ。
　　　　　Ｉ＝∫∫ｘｄｘｄｙ
　　　　　（Ｄ：ｘ2＋ｙ2≦１，ｘ≧０，ｙ≧０）
４．次の行列の積を計算せよ。ただし、
　　Ａ＝（４，－１）、Ｂ＝（　２，－６，　４）、Ｃ＝（１，２）
　　　　（１，　２）　　　（－１，　３，－２）　　　（１，２）
　　　　（２，－１）
　　Ｄ＝（－１，０，１，２）とする。
　　tＡはＡの置換行列。
　　　①ＡＢ
　　　②tＡtＢ
　　　③ＣＢ
　　　④tＤＤ
５．次の線形方程式を解け。
　　　｛　５ｘ＋２ｙ－　ｚ－４ｗ＝　０
　　　｛　２ｘ－　ｙ＋　ｚ　　　＝－１
　　　｛　ｘ　＋３ｙ＋　ｚ＋７ｗ＝　１
　　　｛　４ｘ＋　ｙ＋２ｚ＋２ｗ＝　２
６．微分方程式ｙ''＋ｙ'－６ｙ＝０を解け。

お返事２０００／３／５
from=武田

問１ｘ＝０におけるテイラー展開
　　　　　 ｘ　　ｘ2　　ｘ3　　　　ｘn
①ｅx＝１＋──＋──＋──＋……＋──＋……
　　　　　 １！　２！　３！　　　　ｎ！

　　　　　ｅx＋ｅ-x
②coshｘ＝─────
　　　　　　　２

　　　　　　　ｘ2　　ｘ4　　　　ｘ2n
　　　　＝１＋──＋──＋……＋───＋……
　　　　　　　２！　４！　　　　(2n)！

問２
①u(x,y)＝ｘ3＋ｙ3－２ｘｙとおくと、
　∂ｕ
　──＝３ｘ2－２ｙ
　∂ｘ

　∂ｕ
　──＝３ｙ2－２ｘ
　∂ｙ

　∂2ｕ
　───＝６ｘ……（答）
　∂ｘ2

　∂2ｕ
　───＝６ｙ……（答）
　∂ｙ2

　　∂2ｕ
　────＝－２……（答）
　∂ｘ∂ｙ

②u(x,y)＝log（ｘ2＋ｙ2）とおくと、
　∂ｕ　　２ｘ
　──＝────
　∂ｘ　ｘ2＋ｙ2

　∂ｕ　　２ｙ
　──＝────
　∂ｙ　ｘ2＋ｙ2

　∂2ｕ　　２（ｙ2－ｘ2）
　───＝────────……（答）
　∂ｘ2　　（ｘ2＋ｙ2）2

　∂2ｕ　　２（ｘ2－ｙ2）
　───＝────────……（答）
　∂ｙ2　　（ｘ2＋ｙ2）2

　　∂2ｕ　　　－４ｘｙ
　────＝────────……（答）
　∂ｘ∂ｙ　（ｘ2＋ｙ2）2

問３
①　　　　１
　Ｉ＝∫────ｄｘ
　　　　ｘ2＋４
　ｘ＝２tanθとおくと、ｄｘ＝２sec2θｄθ
　分母＝ｘ2＋４＝４sec2θ
　　　　２sec2θ　　　　１　　　θ　　　１　　　 ｘ
　Ｉ＝∫────ｄθ＝∫─ｄθ＝─＋Ｃ＝─tan-1（─）＋Ｃ……（答）
　　　　４sec2θ　　　　２　　　２　　　２　　　 ２

②

上の領域Ｄにおける二重積分だから、
Ｉ＝∫∫ｘｄｘｄｙ
　　Ｄ

　　　1　　√(1-x2)　　　　　　　　1　　　　√(1-x2)
　＝∫　（∫　　　ｘ　ｄｙ）ｄｘ＝∫　［ｘｙ］
　　　0　　0　　　　　　　　　　　　0　　　　0

　　　1
　＝∫　ｘ√(1-x2)　ｄｘ
　　　0
ｘ2＝ｔとおくと、２ｘｄｘ＝ｄｔ
ｘ：０→１
─────
ｔ：０→１

　　　1　１
Ｉ＝∫　──（１－ｔ）1/2　ｄｔ
　　　0　２
１－ｔ＝ｚとおくと、－ｄｔ＝ｄｚ
ｔ：０→１
──────
ｚ：１→０

　　　0　１
Ｉ＝∫　──（ｚ）1/2（－１）ｄｚ
　　　1　２

　　　１　　（ｚ）1/2+1　　0
　＝－─［　─────　　］
　　　２　　　1/2＋１　　　1

　　　１　　　２　　　１
　＝－─（　－─　）＝─……（答）
　　　２　　　３　　　３

問４
①ＡＢ＝（4,-1）（ 2,-6, 4）＝（8+1,-24-3,16+2）＝（9,-27,18）
　　　　（1, 2）（-1, 3,-2）　（2-2, -6+6, 4-4）　（0,  0, 0）
　　　　（2,-1）　　　　　　　（4+1,-12-3, 8+2）　（5,-15,10）

②tＡはＡの転置行列と言い、行と列とを入れ替えたもの。
tＡtＢ
＝（ 4,1, 2）（ 2,-1）＝（ 8- 6+8,-4+3-4）＝（ 10,-5）
　（-1,2,-1）（-6, 3）　（-2-12-4, 1+6+2）　（-18, 9）
　　　　　　 （ 4,-2）

③ＣＢ＝（1,2）（2,-6, 4）＝（2-2,-6+6,4-4）＝（0,0,0）
　　　　（1,2）（-1,3,-2）　（2-2,-6+6,4-4）　（0,0,0）

④tＤＤ
＝（-1）（-1,0,1,2）＝（ 1,0,-1,-2）
　（ 0）　　　　　　　（ 0,0, 0, 0）
　（ 1）　　　　　　　（-1,0, 1, 2）
　（ 2）　　　　　　　（-2,0, 2, 4）

問５
（5,2,-1,-4）（x）＝（ 0）
（2,-1,1, 0）（y）　（-1）
（1, 3,1, 7）（z）　（ 1）
（4, 1,2, 2）（w）　（ 2）
行列の掃き出し法で解いてみましょう。
─────────　　─────────　　─────────
｜ 5, 2,-1,-4｜ 0｜　｜0,-13,-6,-39｜-5｜　｜1,  3, 1,  7｜ 1｜
｜ 2,-1, 1, 0｜-1｜→｜0,- 7,-1,-14｜-3｜→｜0,- 7,-1,-14｜-3｜
｜ 1, 3, 1, 7｜ 1｜　｜1,  3, 1,  7｜ 1｜　｜0,-13,-6,-39｜-5｜
｜ 4, 1, 2, 2｜ 2｜　｜0,-11,-2,-26｜-2｜　｜0,-11,-2,-26｜-2｜
─────────　　─────────　　─────────

　 ───────────　　─────────────
　｜1,0,  4/7,  1｜- 2/7｜　｜1,0,4/7,     1｜-  2/  7｜
→｜0,1,  1/7,  2｜  3/7｜→｜0,1,1/7,     2｜   3/  7｜
　｜0,0,-29/7,-13｜  4/7｜　｜0,0,  1, 91/29｜-  4/ 29｜
　｜0,0,- 3/7,- 4｜ 19/7｜　｜0,0,  0,-77/29｜ 539/203｜
　 ───────────　　─────────────

　 ───────────　　─────────　　───────
　｜1,0,4/7,    1｜-2/ 7｜　｜1,0,4/7, 0｜ 5/7｜　｜1,0,0,0｜ -1｜
→｜0,1,1/7,    2｜ 3/ 7｜→｜0,1,1/7, 0｜17/7｜→｜0,1,0,0｜  2｜
　｜0,0,  1,91/29｜-4/29｜　｜0,0,  1, 0｜   3｜　｜0,0,1,0｜  3｜
　｜0,0,  0,    1｜-   1｜　｜0,0,  0, 1｜-  1｜　｜0,0,0,1｜ -1｜
　 ───────────　　─────────　　───────
したがって、
（ｘ）　（－１）
（ｙ）＝（　２）……（答）
（ｚ）　（　３）
（ｗ）　（－１）

問６
二階線形微分方程式ｙ''＋ｐｙ'＋ｑｙ＝ｒを解くときは、
ｙ＝ｅmxとおき、一般解ｙ＝ｃ1ｅm1x＋ｃ2ｅm2xを解くのが鉄則である。
ｙ''＋ｙ'－６ｙ＝０を解いてみよう。
ｙ'＝ｍｅmx
ｙ''＝ｍ2ｅmx
となるので、上式に代入すると、
ｍ2ｅmx＋ｍｅmx－６ｅmx＝０
ｅmx（ｍ2＋ｍ－６）＝０
ｅmx＞０より、
ｍ2＋ｍ－６＝０
（ｍ＋３）（ｍ－２）＝０
∴ｍ＝－３，２
したがって、
ｙ＝ｃ1ｅ2x＋ｃ2ｅ-3x……（答）