質問＜２３２６＞２００５／５／５
from=てつ
「三角関数」

∠Ａ＝３０°の△ＡＢＣがある。
Ｐ＝sinＢ＋sinＣとするとき，Ｐの値の範囲を求めよ

★希望★完全解答★

お便り２００５／５／７
from=wakky

Ａ＝３０°より Ｂ＋Ｃ＝１５０°
和積公式（加法定理から導かれます）から
Ｐ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ
  ＝２ｓｉｎ｛（Ｂ＋Ｃ）／２｝・ｃｏｓ｛（Ｂ－Ｃ）／２｝
（Ｂ＋Ｃ）／２＝７５°より、加法定理から
ｓｉｎ｛（Ｂ＋Ｃ）／２｝＝ｓｉｎ（４５°＋３０°）
＝（√６＋√２）／４
また
０＜Ｂ＜１５０°、０＜Ｃ＜１５０°（∵Ｂ＋Ｃ＝１５０°）から
－７５°＜（Ｂ－Ｃ）／２＜７５°
ｃｏｓ（－７５°）＝ｃｏｓ７５°と、
ｃｏｓ７５°＝（√６－√２）／４より（加法定理）
（√６－√２）／４＜ｃｏｓ｛（Ｂ－Ｃ）／２｝≦１
以上から
2｛（√6＋√2）／4｝｛√6－√2）／4｝＜Ｐ≦2｛（√6＋√2）／4｝・１
ゆえに
１／２＜Ｐ≦（√６＋√２）／２・・・（答）
Ｂ＝Ｃ＝７５°の二等辺三角形のときにＰは最大になるんですねぇ。
ＢかＣが１５０°のときＰ＝１／２ですけど
三角形では１５０°に近づいても、１５０°になることはありません。
だから、等号がつかないということですねぇ。