質問＜２２９１＞２００５／４／１５
from=龍一
「整式について」

aを定数、nを正の整数とする。
xの整式f（ｘ）＝xのn乗＋２xのn乗－１－aがx＋１で割り切れるとき、
次の問に答えよ。

問１　aの値を求めよ

問２　f（ｘ）をｘ２乗－１で割ったときの余りを求めよ。


以上の２問が、どうしても解けないので、自分も引き続きといて見ますが、
どなたか模範解答をお願いできませんか？

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／１９
from=KINO

x の n 乗を x^n と表すことにします。
そうすると，問題の整式は

f(x)=x^n+2x^n-1-a

と表せます。

問1 x+1 で割り切れるということは，ある整式 p(x) を用いて
f(x)=(x+1)p(x)
と書き表せるということです。
この等式に x=-1 を代入すると，f(-1)=0 となります。
したがって，
(-1)^n+2(-1)^n-1-a=0
より，a=3(-1)^n-1.

問2 x^2-1 は2次式ですから，それで割った余りは1次式になります。
つまり，ある整式 q(x)定数 b, c を用いて f(x)=(x^2-1)q(x)+bx+c と書けます。

f(-1)=0 でしたので，b(-1)+c=0, すなわち b=c であることがわかります。

また，f(1)=b+c=2b ですが，問1 の結果より 
f(x)=x^n+2x^n-1-a=x^n+2x^n-3(-1)^n ですので，f(1)=3-3(-1)^n です。
したがって，
2b=3-3(-1)^n.
よって余りは {3-3(-1)^n}x+3-3(-1)^n.