質問＜２２２＞２０００／２／３
from=Pucho
「自然数と平方数の数列について」

自然数の列(1,2,3,4,5…)の個数と
平方数の列(1,4,9,16,25…)の個数は
一致するのですか？
なるべく一致する、しないの結論だけでなく、
見解を教えて下さい。

お返事２０００／２／３
from=武田

「個数」とは、有限集合のときに呼ぶ言葉である。
例えば、２桁の平方数の集合Ｐの個数は、
１６，２５，３６，４９，６４，８１
の６個である。
これは、自然数Ｎの集合と１対１対応で考えて、
Ｎ：　１，　２，　３，　４，　５，　６
Ｐ：１６，２５，３６，４９，６４，８１
より、６個と答えていたのである。
　これが、無限集合となると、「個数」とは言わずに、
「濃度」と言う。数え方は、同じ１対１対応であるが、
「対（ツイ）のつくり方を適当にきめて、１対１対応で
数えて等しいとき、濃度は等しい」と言う。

質問の自然数の列(1,2,3,4,5…)と平方数の列(1,4,9,16,25…)
はともに無限集合である。
Ｎ：1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8,……，ｎ，……
Ｐ：1,4,9,16,25,36,49,64,……，ｎ2，……
とすると、１対１対応なので、この２つの無限集合の「濃度」
は等しいと言える。したがって、「一致する」と言える。

次のように考えて、一致しないと言う人もいますが、
Ｎ：1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8,9,……，ｎ2，……
Ｐ：1,　　 4,　　　　　　9,……，ｎ2，……
「対のつくり方を適当にきめて」というのがミソだそうで、
１対１対応にできるときは濃度は等しいと言うそうです。