質問＜２１９９＞２００５／２／１３
from=ともまま
「不等式の証明演習」

はじめまして。今高校一年です。
因数分解からつまずき、なんとか頑張ってきましたが、
どうにもならなくなり投稿しました。
１４日までの宿題で、あまり時間がないのですが、
自力では出来なかった問題があるので教えてもらえませんか？
よろしくお願いします。

①｜ａ｜―｜ｂ｜≦｜ａ－ｂ｜が成り立つことを証明せよ。
②相加平均・相乗平均の関係を用いて、次の問いに答えよ。
　　ｘ＞０のとき、ｘ＋９／ｘの最小値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／１３
from=wakky

お便り２００５／２／１３
from=Bob

①（１）｜a｜－｜b｜≧０　の場合 

（｜a｜－｜b｜）＾２ ≦｜a－b｜＾２
 
a＾２－２｜a｜｜b｜＋b＾２ ≦ a＾２－２ab＋b＾２ 

ここで、左右の辺を整理して、差が正になるようにします。

a＾２－２ab＋b＾２
－a＾２＋２｜a｜｜b｜－b＾２≧０ 
｜a｜｜b｜－ab  ≧ ０ 
｜a｜｜b｜  ≧  ab 

左辺は共に絶対値になりますから、必ず正になります。
右辺が左辺より大きくなる事はない。

よって、 ｜a｜－｜b｜≧０　のとき、
｜a｜－｜b｜≦｜a－b｜ ・ ・ ・ ・ ・ (1)

２．｜a｜－｜b｜≦０　の場合 

｜a｜－｜b｜≦０だから、左辺は負です。

右辺は・・・｜a－b｜なのですから、絶対に正ですよつまり、 ｜a－b｜＞０

よって、｜a｜－｜b｜≦０　のとき、｜a｜－｜b｜≦｜a－b｜ ・ ・ ・ ・ ･ (2)

(1)(2) より、 ｜a｜－｜b｜≦｜a－b｜

（等号は ｜a｜｜b｜＝ab のときに成り立つ）

②相加相乗より　ｘ＞０,９／ｘ＞０なので
　ｘ＋　９／ｘ　≧２√｛ｘ・（９／ｘ）｝

　ｘ＋　９／ｘ　≧２√９
　ｘ＋　９／ｘ　≧６
よって最小値６