質問＜２１８６＞２００５／２／３
空間内の点Ｏに対して、４点Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄを ＯＡ＝１、ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４ を満たすように取る時、四面体ＡＢＣＤの最大体積を求めなさい。 と言う問題が分かりません。もしよろしければ、教えてください． ★希望★完全解答★
お便り２００５／２／６
from=naoya
簡略に解答します。厳密ではありません。 空間内の原点中心,半径4の球をP,半径1の球をQとする. 題意より点B,C,Dは球P上に存在し,点Aは球Q上に存在する. まず,点B,C,Dを含む平面αで球Pを切断することを考える. このときの原点から平面αに下ろした垂線の足をHとし, OH=h(0≦h＜4) とおく. 球Pの平面αによる切り口は円になる. この円をRとおくと,点B,C,Dは円R上の異なる3点として存在している. 円Rの半径rは,三平方の定理より r=√[16-h^2] となる. OH=hのときに底面積最大,かつ高さが最大であるような四面体を考えてその体積をhの 関数としてあらわしたとき,その関数の0≦h＜4における最大値が四面体ABCDの最大値. さてここで,三角形BCDの面積をSとし,Sの最大値を考える. それは,三角形BCDが正三角形のときであり（証明略）,このとき S=(3√[3]r^2)/4. 四面体の高さは球Q上の点Aから平面αに下ろした垂線の長さになるが,それが最大 になるのは明らかに,線分OHをO側に延長し球Qと交わった点を点Aにとった時である. このとき四面体の高さは h+1 となる.よって体積をV(h)とすると, V(h)=S(h+1)/3=√[3](16-h^2)(h+1)/4. hで微分して増減表をかく.するとV(h)はh=2のとき最大値9√3をとる.
お便り２００５／２／８
from=naoya
私の解答で、 「円に内接する三角形の面積が最大になるのは正三角形のとき」ということを 証明なしで用いてしまったので、きちんと証明しようと考えていました。 いくつか証明は思いついたのですが、どれも微分を使う証明になってしまいました。 この問題を微分などを使わず、 幾何・ベクトルなどの方法で証明する方法はないでしょうか。 参考までに、私の思いついた証明の一つを書きます。 円に内接する三角形ABCの面積が最大になるのは、 三角形ABCが正三角形であることを証明せよ。 （証明） 半径1の円に内接する三角形ABCで考えても一般性を失わない。 三角形ABCについて、辺BCを固定して考えると、△ABCが最大になるのは、 BCの垂直二等分線と円の交点のうち、BCとの距離が短くないほうを点Aに取った ときである。このとき三角形ABCは辺BCを底辺とする二等辺三角形となる。 円をxy平面上の単位円に移して考える。これまでの考察から、 A(-1,0), B(x,√[1-x^2]), C(x,-√[1-x^2]) (-1＜x＜1) とおける。このとき、 △ABC＝(1+x)√[1-x^2]=√[(1+x)^2(1-x^2)]. f(x)=(1+x)^2(1-x^2)とおき、微分して区間(1,1)で増減表を書くと、 x=1/2のときf(x)は最大。 よって三角形ABCは x=1/2 すなわち三角形ABCが正三角形のとき、 面積が最大になる。 このことは、一般の円に内接する三角形にも当てはまる。 （証明終）