質問＜２１１９＞２００４／１２／２２
from=たつたつ
「図形（凸四角形の角度）」

わかりません。教えてください。

凸四角形OABCにおいて、
OA=28,AB=21,BC=5,∠OAB=∠OBC=90度であるとき、∠AOCを求めよ。
ただし、近似値、三角関数表を用いずに厳密に求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／２３
from=wakky

∠ＡＯＢ＝α，∠ＢＯＣ＝βとおくと
∠ＡＯＣ＝α＋β が求めたい角ですね。
△ＯＡＢについて
三平方の定理から
ＯＢ^2＝ＯＡ^2＋ＡＢ^2
      ＝２８^2＋２１^2
      ＝１２２５
∴ＯＢ＝√１２２５＝３５
△ＯＢＣについて
ＯＣ^2＝ＯＢ^2＋ＢＣ^2
      ＝３５^2＋５^2
      ＝１２５０
∴ＯＣ＝√１２５０＝２５√２
△ＯＡＢの面積について考えると
（１／２）ＯＡ・ＯＢ・ｓｉｎα
＝（１／２）×２１×２８
よって
ｓｉｎα＝３／５
０＜α＜９０°よりｃｏｓα＞０
ｃｏｓα＝√（１－ｓｉｎ^2α）
       ＝４／５
△ＯＢＣの面積についても同様にして
【計算省略して】
ｓｉｎβ＝√２／１０
ｃｏｓβ＝７√２／１０
以上の結果から
ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎα・ｃｏｓβ＋ｃｏｓα・ｓｉｎβ
＝（３／５）・（７√２／１０）＋（４／５）・（√２／１０）
＝√２／２
α＋βは鋭角だから（図を書くと明らか）
α＋β＝４５°
よって
∠ＡＯＣ＝４５°

お便り２００４／１２／２４
from=UnderBird

三平方の定理より、OB=35であることがわかる。
∠AOB=α、∠BOC=βとすると∠AOC=α+βである。
tanα=21/28=3/4 , tanβ=5/35=1/7
よって、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=1
よって、∠AOC=α+β=45°