質問＜２０４＞９９／１２／２９
from=ＣＯＷ
「連続関数ｆ（ｘ）」

先生初めまして。早速質問を宜しくお願いします。
出展もジャンルも不明で、迷宮入りしているので、ご回答頂
けたら、うれしく思います。
（問題）
連続関数ｆ（ｘ）はｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）を満
たすとする。
（１）ｆ（０）＝０であることを示せ。
（２）ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）であることを示せ
（３）ｆ（１）＝－２であれば、すべての正の整数ｎにたい
　　　してｆ（ｎ）＝－２ｎが成り立つことを示せ。
（４）ｆ（１）＝－２であれば、すべての正の整数ｍ．ｎに
　　　たいしてｆ（ｍ／ｎ）＝－２ｍ／ｎが成り立つことを
　　　示せ。
 (５）ｆ（１）＝－２であれば、ｆ（ｘ）＝－２ｘであるこ
　　　とを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（３）まではわかったのですが、それ以降がなにをしたらい
いかわかりません。
（３）は帰納法を使って解いたのですが、そのほかの解きか
たはあるんでしょうか。
お願いします。

お返事９９／１２／３０
from=武田

問１
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）より、
ｆ（ｘ＋０）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（０）
ｆ（０）＝ｆ（ｘ＋０）－ｆ（ｘ）
　　　　＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）
　　　　＝０……（答）

問２
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）より、
ｆ｛ｘ＋（－ｘ）｝＝ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）
ｆ（－ｘ）＝ｆ｛ｘ＋（－ｘ）｝－ｆ（ｘ）
　　　　　＝ｆ（０）－ｆ（ｘ）
　　　　　＝０－ｆ（ｘ）
　　　　　＝－ｆ（ｘ）……（答）

問３
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）と、ｆ（１）＝－２と
正の整数ｎより
ｆ（ｎ）＝ｆ（１＋１＋１＋……＋１）　　１のｎ個の和
　　　　＝ｆ（１）＋ｆ（１）＋……＋ｆ（１）
　　　　＝（－２）＋（－２）＋……＋（－２）
　　　　＝（－２）・ｎ
　　　　＝－２ｎ……（答）

問４
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）より、
正の整数ｎより
ｆ（ｎｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ＋ｘ＋……＋ｘ）　　ｘのｎ個の和
　　　　＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋……＋ｆ（ｘ）
　　　　＝ｎ・ｆ（ｘ）
と、ｆ（１）＝－２と
正の整数ｍ、ｎよりできた分数（ｍ／ｎ）より
ｆ（ｍ）＝ｆ｛ｎ×（ｍ／ｎ）｝
　　　　＝ｎ・ｆ（ｍ／ｎ）
また、ｆ（ｍ）＝－２ｍ
ｆ（ｍ／ｎ）＝ｆ（ｍ）／ｎ
　　　　　　＝－２ｍ／ｎ……（答）

問５
ｆ（ｘ）は連続関数だから、
αを無理数、ｘは有理数とすると、
ｌｉｍ　ｆ（ｘ）＝ｆ（α）
ｘ→α
ｆ（α）＝ｌｉｍ　ｆ（ｘ）
　　　　　ｘ→α
　　　　＝ｌｉｍ　（－２ｘ）
　　　　　ｘ→α
　　　　＝－２α……（答）

したがって、
ｆ（ｘ）＝－２ｘは、上の問１、問２、問３より、
ｘが整数のとき成立。
上の問４より、ｘが有理数のとき成立。
最後にｘが実数の時成立。