質問＜１９７８＞２００４／１０／１
from=Hiramatu
「三角関数」

はじめまして、
数学がすごく苦手なので先生の言っていることがわかりません。
やさしくお願いします。

ｎが自然数の時、cos^nθについて次の問に答えよ。
(1)cos^2θ＝ａ＋ｂcos２θをみたす定数ａ，ｂを求めよ。
(2)cos^3θ＝cosθcos^2θを利用し、
　　cos^3θが定数a_0、a_1,a_2，a_3を用いて、
　　cos^3θ＝a_0＋a_1cosθ＋a_2cos2θ＋a_3cos3θ
　　と表されることを示せ。
(3)一般の自然数ｎについても、
　　cos^nθが適当な定数　　c_0・・・・、c_nを用いて、
　　cos^nθ＝c_0＋c_1cosθ＋・・・＋c_ncosnθ
　　と表されることを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／１７
from=honda

簡単のため
二倍角の公式，三倍角の公式，
和積の公式，積和の公式を使います
＃さらにTeX流で表記します

(1)
\cos2\theta=2\cos^2\thea-1 （二倍角の公式）
より
\cos^2\theta=1/2+(1/2)\cos2\theta
つまり，a=1/2，b=1/2

(2)
(1)より
\cos^3\theta=\cos\theta\cos^2\theta
=\cos\theta(1/2+(1/2)\cos2\theta)
=(1/2)\cos\theta+(1/2)\cos\theta\cos2\theta
積和の公式より
\cos\theta\2cos\theta
=(1/2)(\cos(\theta-2\theta)+\cos(\theta+2\theta))
=(1/2)\cos\theta+(1/2)\cos3\theta
(\cos(-\theta)=\cos\thetaに注意)
したがって，
\cos^3\theta
=(1/2)\cos\theta+(1/4)\cos\theta+(1/4)\cos3\theta
=(3/4)\cos\theta+(1/4)\cos3\theta
これで題意は証明できた．
（a_0=0，a_1=3/4，a_2=0，a_3=1/4）

(3)
数学的帰納法を用いる
n=1のときは明らか
kは2以上の整数であるとして
nがk-1以下のとき
\cos^{k-1}\thetaが
題意の形で表されると仮定する
n=kのとき
\cos^k\theta=\cos\theta\cos^{k-1}\theta
であり，帰納法の仮定より\cos^{k-1}\thetaは
1,\cos\theta,...\cos(k-1)\thetaによって
表される．ここで，A=1,2,...,k-1とすると
\cos^k\thetaは
(係数)\cos\theta\cosA\thetaの形の項の
和であるので，\cos\theta\cosA\thetaのみを
考える．積和の公式より
\cos\theta\cosA\theta
=(1/2)(\cos(A-1)\theta+\cos(A+1)\theta)
である．A=1,2,...k-1であるので
A-1=0,1,..k-2，A+1=2,3,...,kである
したがって，
\cos\theta\cosA\thetaは題意の形の式で
表される．
よって，\cos^k\thetaも題意の形の式で表される．

したがって，任意の自然数nに対して
\cos^n\thetaは題意の形の式で表される．