質問

円周上にｎ個の点が置かれている。
どの２点も線分で結ばれていて、各々の線分を赤色または青色の
２色で塗り分ける。
このとき（最初のｎ個の点のうち）３点を頂点とする、どの三角形
も２色の辺からなるような塗り方は存在するか。
（1）ｎ＝５
（2）ｎ＝６
（3）ｎ≧７

★希望★完全解答★

お便り２００４／９／８
from=wakky

（１）
円周上の５点からなる五角形の辺の色を全部赤として、対角線を全部青とすると、
３辺が同じ色の三角形はありません。
したがって・・・存在する。

（２）
ある１点をＡとします。
点Ａから出る線分は５本あって
全部赤、赤４青１、赤３青２、赤２青３、赤１青４、全部青
のどれかになります。
つまり、少なくとも３本の線分が同じ色であるということになります。
ここで、ＡＢ，ＡＣ，ＡＤが同じ色であるとします。
ＢＣ，ＢＤ，ＣＤのうちどれかがＡＢと同じ色なら
△ＡＢＣ，△ＡＢＤ，△ＡＤＢのどれかは３辺が同じ色の三角形になります。
ＢＣ，ＢＤ，ＣＤのどれもＡＢと異なる色ならば
△ＢＣＤの３辺が同じ色になります。
つまり
ｎ＝６のときは、少なくとも１つは３辺が同じ三角形が存在することになります。
従って
どの三角形も２色の辺からなるような場合は存在しません。

（３）
これは実は自信がないのですが・・・
（２）から
ｎ（≧７）個の点のうち、どの６点を選んでも必ず３辺が同じ色の三角形が存在
すると思います。
残りのｎ－６個の点からどのような色の線を引いてもいいわけですから、ｎ≧７
の場合も必ず３辺が同じ色の三角形があるのではないでしょうか？