質問＜１８３５＞２００４／８／２
from=b1177309
「楕円上の点と２焦点の距離の和」

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1上の点と２焦点の距離の和は一定であることを
以下の方針で示せ。ただしa>bと仮定し、
e=√(1-b^2/a^2)とする。

(1)楕円上の点(acosθ,bsinθ)と２焦点の距離の和Ｌをa,b,e,θを用いて表せ。
(2)Lを簡単にせよ。

ちょっとやってみました。
(1)x^2/a^2+y^2/b^2=1の２焦点はa>bなので
　　　(±√（a^2+b^2,0)
  L=√{(a^2-b^2)(cosθ)^2-2acosθ√(a^2-b^2)+a^2}
    +√{(a^2-b^2)(cosθ)^2+2acosθ√(a^2-b^2)+a^2}
  ここで、e=√(1-b^2/a^2)=√(a^2-b^2)/a
     ∴√(a^2-b^2)=ae   a^2-b^2=a^2*e^2
  ∴L=√{a^2*e^2(cosθ)^2-2a^2cosθ+a^2}
    +√{a^2*e^2(cosθ)^2+2a^2cosθ+a^2}
     =√{(aecosθ-a)^2}+√{(aecosθ+a)^2}
     =2aecosθ   としたのですが良いのでしょうか。

さらに、(2)がわかりません。

お便り２００４／８／３
from=UnderBird

from UnderBird

(1)
最後の1行が誤りです。
e=√(1-b^2/a^2)から、0≦e≦1で-1≦cosθ≦1より、ecosθ-1≦0
√(aecosθ-a)^2=a|ecosθ-1|=-a(ecosθ-1)となる。
2項目については、ecosθ+1>=0より
√{(aecosθ+a)^2}=a|ecosθ+1|=a(ecosθ+1)
よってL=2a（一定）といえます。

(1)と(2)でどこまでを(1)にするか不明ですが、・・・・