質問＜１８２８＞２００４／７／２９
from=夏休み
「同値関係」

T=Z×(Z-{0})の元の間に関係～を
「(a,b)～(c,d)　⇔　ad=bc」と定義する。
ここで関係～がTにおける同値関係である。
以下の問いに答えよ。
①同値関係について解説せよ。
②(a,b)を代表とする同値類を[(a,b)]で表す。
　即ち[(a,b)]={ (x,y)l(x,y)∈T, (x,y)～(a,b)}とお
　くとき、次を示せ。
　[(a,b)]=[(c,d)] ⇔ ad=bc
なるべくわかりやすくおねがいします★

お便り２００４／７／２９
from=T.Kobayashi

a, b, c ∈ T ならば以下の (1), (2), (3) を満たすとき、
～ を T の同値関係という。
(1) a～a
(2) a～b ⇒ b～a
(3) a～b, b～c ⇒ a～c

お便り２００４／７／３０
from=夏休み

どうしてもわかりません。
　(a,b)を代表とする同値類を[(a,b)]で表す。
　即ち[(a,b)]={ (x,y)l(x,y)∈T, (x,y)～(a,b)}とお
　くとき、次を示せ。
[(a,b)]=[(c,d)] ⇔ ad=bc
条件として
T=Z×(Z-{0})の元の間に関係～を
「(a,b)～(c,d)　⇔　ad=bc」と定義する。
ここで関係～がTにおける同値関係である。
誰か解法をご教授ください。お願いします。

お便り２００４／７／３１
from=juin

Z:有理整数とする。T=Z×Z-{0}に関係"?"をいれる。
(a,b)?(c,d)⇔ad=bc

(1)
?は同値関係である。
(a,b)?(a,b)
(a,b)?(c,d)ならば(c,d)?(a,b)
(a,b)?(c,d)かつ、(c,d)?(e,f)ならば(a,b)?(e,f)
「証明」
ad=bc,cf=deの両辺をかける。adcf=bcdeとなる。
cd≠0ならばaf=beとなり、(a,b)?(e,f)
c=0ならば、a=e=0となり、(a,b)?(e,f)
終わり。

(2)
?は同値関係であるから、T/?が定義できる。
これは、同値類による類別だから、
定義により
[(a,b)]=[(c,d)]ならば(a,b)?(c,d)となる。