質問＜１８１８＞２００４／７／２０
from=オレンジ
「極限」

無限数列｛a_n｝を
a_1=c , a_n+1=(a_n^2-1)/n　(ｎ≧1)
で定める。ここでcは定数とする。
(１)c=2のとき、一般項a_nを求めよ。
(２)c≧2ならば、lima_n=∞(n→∞)になることを示せ。
(３)c=√2のとき、lima_n(n→∞)の値を求めよ。

(２)(３)をお願いします。

お便り２００４／７／２６
from=風あざみ

(2)
数学的帰納法でa_n≧n+1を示す。

a_1=c≧2だから正しい。

n=kのときa_k≧k+1と仮定すると

a_(k+1)={(a_k)^2-1}/k≧{(k+1)^2-1}/k=k+2となるので、n=k+1のときも正しい。

よって数学的帰納法より任意の自然数nに対して
a_n≧n+1となる。

よって
n→∞のときa_n→∞となる。

(3)
a_2=(2-1)/2=1/2

ここでn≧2のとき|a_n|＜1となることを示す。

数学的帰納法で示す。

n=2のときa_2=1/2

n=k(≧2)のとき正しいと仮定すると
|a_k|＜1

|a_(k+1)|=|1-(a_k)^2|/k＜1/k＜1となるからn=k+1のときも正しい。

よってn≧2なる任意の自然数nに対して|a_n|＜1となることがわかる。

よって、nをn≧3なる任意の自然数とすると
0≦|a_n|=|1-{a_(n-1)}^2|/(n-1)＜1/(n-1)となる。

n→∞とおくと1/(n-1)→0となるから
n→無限大となるとき、a_n→0となる。