質問＜１７１８＞２００４／５／２９
from=he
「漸化式の一般項の求め方」

A[n+2]=(-29A[n+1]+10A[n])/3,A[0]=1,A[1]=1/3が与えられているとき
どうやって一般項を求めるのかおしえてください

お便り２００４／５／３１
from=wakky

まず答を先に言いますと。

A(n)=(1/3)^n

回答その１

三項間の漸化式でよく使う手は
特性方程式です。
これは　a(n+2)-αa(n+1)=β{a(n+1)-αa(n)}
とおいたときに
α、βは漸化式の係数を二次方程式の係数とした場合の解になります。
つまり
x^2=(-29x+10)/3　の解となります。
この問題の場合
α、βは1/3、-10となります。
そうするとαとβの代入の仕方で二通りの式ができますね。
それからa(n+2)を消去・・・つまり連立方程式を解けばできあがりです。

回答その２

漸化式から地道にa(2),a(3)・・・を計算していくと
どうやら　a(n)=(1/3)^n　らしいと言うことがわかります。
あとは数学的帰納法で証明してできあがりです。