質問

高校１年です。問題を解いていてわからない問題があったので教えて下さい。
問題
　立方体の６つの面のに、青・赤・白・黄・紫・緑の６色を１面ずつ塗るとする。
異なる塗り方は何通りあるか？

指針には「まず、１つの面の色を固定して、その対面を決める」と書かれている
のですが、理解できません。
どうして　６×５×（４－１）！　とやってはいけないんですか？
どうすればいいのか、教えて下さい。よろしくお願いします。

お便り２００４／５／１８
from=下野哲史

６×５×（４－１）！　では、
６回重複数えてしまいます。
これではきっと納得がいかないのでしょうね。
この文面から察するところ。

まず、n個の円順列が (n-1)! 通りであることを
「n個のうちの１つを、固定して考える」方法から
理解することが先決だと思いますよ。

例えば、４個の円順列を考えてみましょう。
４個のうちの１個を１つの席に固定します。
すると、残り３つの席に３個を並べる方法ですが、
これは、固定した右隣から（別に左隣でも構いませんが）
並べるので 3! 通りとなりますね。
それでは、固定したものが他の席に来た時を考えると、
円順列ですから、回して同じ形ならば同じと数えるため、
最初に固定したものが他の席にあったとしても、
それを回して最初に固定した位置に戻せば、
先の 3! 通りのうちの１つになります。
（ここが難しいかも）
よって、 3! 通りでおしまいなのです。

６つの面のうちの１つに１つの色を固定して考える。
固定した色が、他の面にあるときは、
回して最初に固定したときの位置にもってくれば、
それは必ずすでに数えているはず。
よって、
対面の決め方５通り×周りの４面の円順列 3! 通り
となります。

説明が下手ですみません。

お便り２００４／５／１９
from=るい

アドバイスありがとうございます。参考になりました。
友達に聞いてみたんですが、
５×３！の５というのは一つの面を固定した時、
例えば上が１通りと決めると対面は６－１で５通り。
つまり、５というのは１×５の５だと考えれば良い、と聞きました。
そう考えていいんですか？
それと、このやり方は図形の形が違っても当てはまるんですか？
教えて下さい。よろしくお願いします。

お便り２００４／５／２０
from=BossF

再質問の内容がわからないのですが、元の質問に私なりに答えてみます
 
以下、立方体を机に置いたとして上に見える面を「上面」
机に接してて見えない面を「下面」
それ以外の面を「側面」と呼ぶことにします。
 
まず、質問者の解答の不備をあげつらいます＜怒らないでね(^^;;
 
６×５×（４－１）！　
 
この式の意味はたぶん上面のきめ方6通り、下面は残り5つのどれかで5通り、
側面は円順列だ、（4-1）！てな具合ではないでしょうか？
 
どこがいけないか、
さて考えてみてください、
「青を上面にきて赤が側面にきた塗り方」と「赤を上面にきて青が側面に
きた塗り方」は、別物でしょうか？
ちょっと持ち上げて、向きを変えただけのものじゃありませんか？
そう、かなりダブってしまってるんですよ、質問者の解答は
 
ここからちょっと慣れない考え方が出てくるかもしれませんが、
頑張ってください。
６色のうち、どれが上面にくるかわからないとゆうことは、
逆に言えばどれかが必ず上に来るとゆうことです。
いいかえれば、ある色が上になるように持ち上げて向きを直すことが
必ずできるとゆうことです。
つまり、上面の色を固定して考えても構わないとゆうことなのです
すると式は
 
1×５×（４－１）！　
 
となります。