質問＜１６４０＞２００４／３／２１
from=回転大介
「今年の入試問題」

xy平面上の４点 (2,0) (0,2) (-2,0) (0,-2)
をそれぞれ中心とする半径 r の円が４個あり、
どの円も両隣の円と互いに外接している。
これらの円で囲まれる図形（円の内部を含まない）
を D とするとき、次の各問に答えよ。
(1) r を求めよ。
(2) D の面積を求めよ。
(3) D を x軸のまわりに回転して得られる立体の
　　体積を求めよ。

今年の杏林大学医学部の入試問題です。
原文通りです。
(1) r=√2　(2) 2(4-π)
(3) が分かりません。宜しくお願いします。

お便り２００４／５／１０
from=BossF

(3)（素直に計算します）
まず、対称性より第1象限の領域をｘ軸に関して回転させたものを
2倍すればいいことに注意します
 
x^2+(y-2)^2=2→y=-√(2-x^2)+2(注1)→y^2=6-x^2-4√(2-x^2)
　　　　　(注1；領域を囲む部分を考え、根号は負の方を取ります)
(x-2)^2+y^2=2→y^2=2-(x-2)^2
　より

V/2π=∫(0to1){6-x^2-4√(2-x^2)}dx-∫(2-√2to1){2-(x-2)^2}dx

問題は∫(0to1)√(2-x^2)dxの部分だと思いますが
x=√2・sinθ と置換すると
積分区間は　x=0to1→θ=0toπ/4
被積分関数  √(2-x^2)→√2cosθ　（注；積分区間から、cosは正)
また、　　　　dx=√2cosθ・dθ　だから

∫(0to1)√(2-x^2)dx=∫(0to π/4)√2・(cosθ)^2・dθ
                            =√2∫(0to π/4)(1+cos2θ)/2dθ
　　　　　　　　　　　　=[θ/2+sin2θ/4](0to π/4)=π/8+1/4
また、
∫(0to1)(6-x^2)dx-∫(2-√2to1){2-(x-2)^2}dx
=[6x-x^3/3](0to1)-[2x-(x-2)^3/3](2-√2to1)
=・・・
として、あとひたすら計算

結局、答は　25/6-4√2-π/2 ←あってるかな？(^^;;