質問＜１６３＞９９／８／１１
from=type R
「半円の重心」

半円の重心を求めるために、次の2つの方法でトライしました
が失敗しました。
1 面積を半分にする、対称軸に垂直な線をひいて、考えた。
2 物理のモーメントを考えた。

お返事９９／８／１４
from=武田

重心の問題なので、コマの重心の求め方の本を探したところ、
日本評論社発行「新しい高校数学の展望」（１９９０年）の
５８ページに黒田俊郎先生の「コマと重心」というのがあり
ました。三角形、四角形、五角形と説明がある最後に、半円
形のコマの重心というのがありましたが、説明はパプス・ギ
ュルダンの定理によるとしか書いてなかったので、次に、培
風館発行「微分積分学精説」（岩切晴二著）を探しました。
索引にパップスがありましたので、開くと、バッチリ重心の
項でした。「定積分とその応用」の「物理学への応用」の箇
所です。
それによると、曲線の方程式ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≦ｘ≦ｂ）の
　　　　　　　＿　＿
ときの重心Ｇ（ｘ，ｙ）は、
＿　　ｂ　　　　　　ｄｙ
ｘ＝∫　ｘ√｛１＋（──）2｝ｄｘ　／Ｌ
　　　ａ　　　　　　ｄｘ
＿　　ｂ　　　　　　ｄｙ
ｙ＝∫　ｙ√｛１＋（──）2｝ｄｘ　／Ｌ
　　　ａ　　　　　　ｄｘ
ただし、
　　　ｂ　　　　　ｄｙ
Ｌ＝∫　√｛１＋（──）2｝ｄｘ
　　　ａ　　　　　ｄｘ
で求まるそうだ。パップスの定理はこのあと、曲線の回転し
た表面積Ｓを求めるのにつながる。
　　　　　　＿
Ｓ＝Ｌ・２πｙ


さて質問の半円の重心は、ｙ＝√（ａ2－ｘ2）
－ａ≦ｘ≦ａということで計算してみた。
半円周Ｌ＝πａ
＿
ｘ＝０　　　＿
したがって、ｙだけを計算する。
＿　　ａ　　　　　　ｄｙ
ｙ＝∫　ｙ√｛１＋（──）2｝ｄｘ　／Ｌ
　　　-a　　　　　　ｄｘ
まず、
ｄｙ　　　－ｘ
──＝───────
ｄｘ　√（ａ2－ｘ2）
より、
＿　ａ　　ａ　　√（ａ2－ｘ2）
ｙ＝─　∫　　────────　ｄｘ
　　Ｌ　　-a　　√（ａ2－ｘ2）
　　ａ　　　　　 a
　＝─・【　ｘ　】
　　Ｌ　　　　　-a

　＝２ａ2／πａ
　＝２ａ／π
したがって、
点Ｇ（０，２ａ／π）……（答）

訂正９９／８／１７
from=武田

　上のように答えた後、もうちょっと調べてみたら、
点Ｇ（０，２ａ／π）は間違っていました。
　上の計算は、半円の重心ではなく、半円周の重心だったの
です。パッポスの定理には、平面図形の重心と平面曲線の重
心の２つがあったのです。上の計算は曲線ｙ＝ｆ（ｘ）にお
ける重心を求める公式でした。
　では、平面図形の重心は二重積分で求めることになる。
　　　＿　＿
Ｇ’（ｘ，ｙ）は、平面図形の範囲をＤ、面積をＭとすると、
＿
ｘ＝∫∫　ｘ　ｄｘｄｙ　／Ｍ
　　　Ｄ
＿
ｙ＝∫∫　ｙ　ｄｘｄｙ　／Ｍ
　　　Ｄ
ただし
Ｍ＝∫∫　ｄｘｄｙ
　　　Ｄ

パップスの定理はこのあと、平面図形を回転した体積Ｖを求
めるのにつながる。
　　　　　　＿
Ｖ＝Ｍ・２πｙ


さて質問の半円の重心は、半円周の曲線の方程式が
ｙ＝√（ａ2－ｘ2）
－ａ≦ｘ≦ａということで計算してみた。
面積Ｍ＝∫∫　ｄｘｄｙ
　　　　　Ｄ
　x=ａ　　　y=√（ａ2－ｘ2）
＝∫　ｄｘ　∫　ｄｙ
　x=-a　　　y=0
　ａ
＝∫　√（ａ2－ｘ2）ｄｘ
　-a
　π/2
＝∫　ａcosθ・ａcosθｄθ
　-π/2
＝πａ2／２
半円の面積は二重積分を使わなくても簡単に出せましたね。
重心は図より、
＿
ｘ＝０となるから
＿
ｙだけを計算すればよいですね。
＿
ｙ＝∫∫　ｙ　ｄｘｄｙ　／Ｍ
　　　Ｄ
　x=ａ　　　y=√（ａ2－ｘ2）
＝∫　ｄｘ　∫　ｙｄｙ　／Ｍ
　x=-a　　　y=0
　ａ
＝∫　（ａ2－ｘ2）／２　ｄｘ　／Ｍ
　-a
　　　　　　　　　ａ
＝【ａ2ｘ－ｘ3／３】　／２Ｍ
　　　　　　　　　-a
　４ａ3　１
＝──・──
　３　　２Ｍ

　４ａ
＝──
　３π

したがって、
点Ｇ’（０，４ａ／３π）……（答）