質問＜１６０９＞２００４／２／２４
from=和賀
「不定積分の問題」

∫（１／１－ｃｏｓｘ)ｄｘを教えてください

お便り２００４／２／２５
from=こんにちは

tan(x/2)=tとおくと　
dt=(1/2)*{1/cos(x/2)}^2dx
　=(1/2)*{1+{tan(x/2)}^2}dx
　=(1/2)*(1+t^2)dx

よって
dx={2/(t^2+1)}dt

(1-t^2)/(1+t^2)
＝(1-{sin(x/2)/cos(x/2)}^2)/(1+{sin(x/2)/cos(x/2)}^2)
＝({cos(x/2)}^2-{sin(x/2)}^2)/({cos(x/2)}^2+{sin(x/2)}^2)
＝cosx

だから

∫1/(1-cosx)dx
＝∫{1/(1-{(1-t^2)/(1+t^2)})}*{2/(t^2+1)}dt
＝∫{(1+t^2)/(1+t^2)-(1-t^2)}*{2/(t^2+1)}dt
＝∫{(1+t^2)/(2t^2)}*{2/(t^2+1)}dt
＝∫(1/t^2)dt
＝-1/t+C
＝-1/{tan(x/2)}+C

Cは積分定数

お便り２００４／２／２５
from=juin

1/(1-cosx)
=(1+cosx)/(1-(cosx)^2)
=(1+cosx)/(sinx)^2

∫dx/(1-cosx)
=∫dx/(sinx)^2+∫cosx/(sinx)^2dx
=-cotx-1/sinx+C