質問＜１４９７＞２００３／１１／２６
from=ヴィコヴィッチ
「外積について」

外積はよく3次元ベクトルを利用してあらわしていますが、
( A＝(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3)のとき
A×B＝(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1) になる）

2次元ベクトルでの外積（たとえばA=(a1,a2),B=(b1,b2)のときのA×Bは？)や、
ｎ次元ベクトルでの外積（たとえばA=(a1,a2,...,an),B=(b1,b2,...,bn)は
どのように表されて、またそれはどのような意味をもつものなのでしょうか？

お便り２００３／１２／２
from=phaos

外積 (×, cross product) というものは三次元固有のもので, 
他の次元では定義されません。
http://planetmath.org/encyclopedia/CrossProduct.html

敢えて他の次元に拡張しようとすれば Hodge *-operator
http://planetmath.org/encyclopedia/HodgeStarOperator.html
というものを使えば, 次のように考えれば拡張といえば拡張になります。
先ず, A = (a1, ..., an), B = (b1, ..., bn) は
a1dx1 + … + andxn, b1dx1 + … + bndxn
のことだと見なします。そして
*(A∧B)
(∧ は外積代数 exterior product, wedge product
http://planetmath.org/encyclopedia/ExteriorAlgebra.html) を考えると, 
A と B が三次元の時, 丁度これは A×B と一致していますので, 
拡張と思うことが出来ます。
　但し, n 次元の場合, これは *(2-form) だから (n - 2)-form に
なってしまいます。
三次元の場合は 3 - 2 = 1 だから丁度普通の vector に戻って来ます
が, それ以外では戻って来ません。