質問＜１３８５＞２００３／９／８
from=おぴｔ
「連続の問題‥」

（１）
閉区間[0,1]を定義域とする連続関数f,g…に対して、
d(f,g)=max{|f(x)－g(x)|}、0≦x≦1、、、
とするとき、次式が成り立つことを証明せよ。
①d(f,g)≧0で、d(f,g)＝０とf≡gは同値である。
②d(f,g)＝d(g,f)
③d(f,g)≦d(f,h)+d(h,g)

（２）
関数f(x)＝１/x は開区間(0,1)で一様連続でないことを証明せよ。

多くてお手数かけると思いますがよろしくお願いしま～す。。

お便り２００３／９／１４
from=Tetsuya Kobayashi

(1)
①
任意の 0＜=a＜=1 に対して 
|f(a)-g(a)|>=0 だから d(f,g)=Max{|f(x)-g(x)|}>=0.
f≡g ならば、任意の 0＜=a＜=1 に対して |f(a)-g(a)|=0 だから、
d(f,g)=0.
f!≡g ならば、0＜=a＜=1 が存在して、
f(a)!=g(a), 
すなわち d(f,g)>=|f(a)-g(a)|>0.

②
|f(x)-g(x)|=|g(x)-f(x)| だから、Max{|f(x)-g(x)|}=Max{|g(x)-f(x)|}.

③
d(f,h)=|f(a)-h(a)|, d(h,g)=|h(b)-g(b)| とする。
d(f,g)=|f(c)-g(c)| とすると、
|f(c)-h(c)|＜=|f(a)-h(a)|, |h(c)-g(c)|＜=|h(b)-g(b)| で、
|f(c)-g(c)|＜=|f(c)-h(c)|+|h(c)-g(c)|＜=|f(a)-h(a)|+|h(b)-g(b)|.

(2)
同じεに対しては、いつでも同じδを取ればいい、というのが一様収束。
もしそうならば、任意のε＞0 に対し、εだけに依存して a には
依らないδが存在して、
1>a>0 ならば、εa^2+εδa-δ>0
となることになるが、これは
a＜(-εδ+sqrt(ε^2δ^2+4εδ))/(2ε)
で不成立。