質問＜１３５５＞２００３／８／１７
from=いあん
「微分法」

　三次関数F(X)（またはそれ以上の次数の関数）に直線が点（t,F(t))で
接しているとき、F(X)と直線を連立（ｙを消去）した方程式は
（ｘ－ｔ）を重解に持つ、っていうんですが、なんでですか。

お便り２００３／８／２１
from=Tetsuya Kobayashi

文中の直線を y=g(x) とおいて、h(x)=f(x)-g(x) とおく。
直線がある点で接しているということは、その点の x 座標で f(x) と g(x) のとる
値が等しいから、h(t)=0 で、h(x) は整式だから因数定理より h(x)/(x-t) が整式。
また、直線がある点で接しているということは、その点の x 座標で f'(x) と g'(x)
のとる値が等しい(∵その点で y=f(x) と y=g(x) の傾きが等しい)から、h'(t)=0 で、
h'(t) は整式だから因数定理より h'(x)/(x-t) が整式。整式の形式的な微分もまた
整式だから、h'(x)/(x-t)-(h(x)/(x-t))'=h(x)/(x-t)^2 が整式、すなわち h(x) は
(x-t)^2 を因子に持つ。