質問＜１３５２＞２００３／８／１５
from=のらいぬ
「式の証明」

ｘ＋ｙ＋ｚ＝x^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝２の時、
ｘ(１－ｘ)^２＝ｙ(１－ｙ)^２＝ｚ(１－ｚ)^２を証明せよ。

お便り２００３／８／２１
from=ニースケンス

ｘ＋ｙ＋ｚ＝２………①より、
４＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝２を代入して
∴ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝１………②
ｘｙｚ＝ｋ………③とおくと、①②③より解と係数の関係より、
ｔ^3－２ｔ^2＋１ｔ－ｋ＝０
ｘ、ｙ、ｚはｔの３次方程式の解となる。
ｔ（ｔ^2－２ｔ＋１）＝ｋ
ｔ（ｔ－１）^2＝ｋ
ｔに解ｘ、ｙ、ｚをあてはめて、
∴ｘ（ｘ－１）^2＝ｋ、ｙ（ｙ－１）^2＝ｋ、ｙ（ｙ－１）^2＝ｋ
したがって、
ｘ（１－ｘ）^2＝ｙ（１－ｙ）^2＝ｚ（１－ｚ）^2

お便り２００３／８／２１
from=Tetsuya Kobayashi

4=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=2+2(xy+yz+zx) より、xy+yz+zx=1。
根と係数の関係より、x, y, z は X の方程式 X^3-2X^2+X-xyz=0 の根。
すなわち、x(1-x)^2=y(1-y)^2=z(1-z)^2=xyz である。