質問＜１３１５＞２００３／７／１６
from=大和
「幾何学」

(1)三角形の二辺の長さの積は、第三辺に対する高さと外接円の直径の積に
　等しいことを示せ。
(2)反転円に外接する正方形の反形はどのような図形になるか。
(3)ユーグリッド幾何では、交わる2直線のいずれとも平行な直線は存在し
　ない。双曲幾何のポアンカレ円板モデルでは交わる2擬直線のいずれと
　も平行な擬直線があるかどうかを調べよ。
　ただし、双曲幾何のポアンカレ円板モデルにおいて二つの擬直線が平行
　であるとは、それらが共通の境界点を持つことである。

お便り２００３／７／１６
from=Tetsuya Kobayashi

(1)
三角形の二辺 a, b 、第三辺 c 、高さ h 、外接円の半径 R と置くと、
c/\sin C = 2R (Law of Sines),
S = (1/2)ab\sin C = ch/2.
よって、ab = 2hR.

(2)
S := {(x,y); x^2+y^2-x＜=0},
T := {(x,y); x^2+y^2-y＜=0},
U := {(x,y); x^2+y^2+x＜=0},
V := {(x,y); x^2+y^2+x＜=0},
W := {(x,y); (x,y)\in S\cup T\cup U\cup V}
と置いたときの、W の境界。

お便り２００３／７／１８
from=Tetsuya Kobayashi

(3)
ポアンカレ円板(半径1の円)では、直線は円の直径か、両端がこの円
の境界と直交する円弧になるので、題意の状況は実在します。