質問＜１３１０＞２００３／７／１４
from=よっしー
「不定積分」

下の問いの解き方を教えて下さい。お願いします。

問.次の不定積分を求めよ
①∫１/（e^x + e^-x） dx
②∫x^2 cosx dx

お便り２００３／７／１５
from=下野哲史

①　与式 =∫e^x/(e^(2x)+1) dx
          t=e^x とおくと dt/dx=e^x より
　　　　　　=∫1/(t^2+1)dt
          t=tanθ とおくと dt/dθ=1/cos^2θ より
              =∫cos^2θ ・1/cos^2θ dθ
              =∫dθ = θ +C
              = tan^(-1)t +C
              =tan^{-1}e^x + C
 
②　与式 = ∫x^2(sin x)' dx = x^2sin x-∫2xsin x dx
         = x^2 sin x +2∫x (cos x)' dx 
         = x^2 sin x +2x cos x -2∫cos x dx
         = x^2 sin x + 2x cos x - 2sin x + C

お便り２００３／７／１５
from=Tetsuya Kobayashi

(1) 被積分関数の分母分子に (e^x) を掛けて、e^x = \tan t と置けば、
\int 1/(e^x+e^{-x}) dx = \int dt = t + C = \arctan e^x + C.
(2) 部分積分を2回使って、
\int x^2\cos x dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x dx
                  = x^2\sin x - 2(-x\cos x + \int\cos x dx)
                  = 2x\cos x + (x^2-2)\sin x + C.