質問＜１２７７＞２００３／６／２３
from=taka
「３次関数」

ｙ＝x3＋３ａｘ2＋３ｂｘ＋１が０≦ｘ≦１において単調増加するとき
（ａ、ｂ）の存在範囲を求めて図示しなさい

考え方を教えてください

お便り２００３／６／２５
from=Tetsuya Kobayashi

y'=3x^2+6ax+3b.
必要十分: min{y'; 0＜=x＜=1}=(*)>=0.
y'=3(x+a)^2+3b-3a^2: 下に凸の放物線.
(i) 0＜=a＜=1 ＜=＞ -1＜=a＜=0 のとき、(*)=y'(-a)=3b-3a^2>=0.
(ii) -a＜0 ＜=＞ a>0 のとき、(*)=y'(0)=3b>=0.
(iii) 1＜-a ＜=＞ a＜-1 のとき、(*)=y'(1)=3+6a+3b>=0.
図示しやすい形に書き直すと、
(i) b>=a^2 (-1＜=a＜=0 のとき),
(ii) b>=0 (a>0 のとき),
(iii) b>=-2a-1 (a＜-1 のとき).