質問＜１１８６＞２００３／４／２６
from=ウッチー
「剰余定理の問題」

x^4-1を整式P(x)で割ったら、商がx^3-3x^2+9x-27で、余りが80であった。
P(x)を求めよ

という問題がわかりません。
一体どうやってP(x)を求めたらいいのでしょうか？

お便り２００３／４／２６
from=juin

(x^4-1)÷P(x)=(x^3-3x^2+9x-27)...80だから、
(x^4-1)=P(x)(x^3-3x^2+9x-27)+80 である。
x^4-81=P(x)(x^3-3x^2+9x-27)
(x^2+9)(x^2-9)=P(x)(x-3)(x^2+9)
よって、P(x)=x+3

お便り２００３／４／２７
from=phaos

先ず P(x) の次数を考える。四次式を割って商が三次ということは,
 P(x) は一次式でないと計算が合わない。
それから, 商の最高次の係数が 1, x^4 - 1 の最高次の係数も 1 だから,
 P(x) = x - k という形をしていることが分かる。
除法定理 (division algorithm) によって
x^4 - 1 = (x - k)(x^3 - 3x^2 + 9x - 27) + 80
であるが, この式に x = 0 を代入すると
-1 = 27k + 80
27k = -81 即ち k = -3 だから P(x) = x + 3.